Question

如圖1，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象的頂點(diǎn)為D點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），OB=OC，tan∠ACO=

1

3

．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．
（2）經(jīng)過(guò)C、D兩點(diǎn)的直線，與x軸交于點(diǎn)E，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．
（3）平行于x軸的直線與拋物線交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓與x軸相切，求圓的半徑．
（4）如圖2，若點(diǎn)G（2，y）是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AG下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△APG的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和△APG的最大面積．

Answer 1

分析：（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式，需要求出A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)．已知B點(diǎn)坐標(biāo)，且OB=OC，可知C（0，3），tan∠ACO=

1

3

，則點(diǎn)A坐標(biāo)為（-1，0）．將A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)代入關(guān)系式，可求得二次函數(shù)的表達(dá)式．
（2）已知拋物線關(guān)系式，先求出頂點(diǎn)D坐標(biāo)，再求出直線CD的解析式，E是直線與x軸交點(diǎn)，可得E點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）分情況討論，當(dāng)圓在x軸上方時(shí)，根據(jù)題意可知，圓心必定在拋物線的對(duì)稱軸上，設(shè)圓半徑為r，則N的坐標(biāo)為（r+1，r），將其代入拋物線解析式，可求出r的值．當(dāng)圓在x軸的下方時(shí)，方法同上，只是N的坐標(biāo)變?yōu)椋╮+1，-r），代入拋物線解析式即可求解．
（4）G在拋物線上，代入解析式求出G點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），即（x，x²-2x-3）已知點(diǎn)A、G坐標(biāo)，可求出線段AG的長(zhǎng)度，以及直線AG的解析式，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求出P到直線的距離，即為三角形AGP的高，從而用x表示出三角形的面積，然后求當(dāng)面積最大時(shí)x的值．

解答：解：（1）由已知得：C（0，-3），A（-1，0）
將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

，
解得：

a=1 b=-2 c=-3

．
所以這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x²-2x-3．    

（2）存在，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-3）
易得D（1，-4），所以直線CD的解析式為：y=-x-3，
故E點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，0）．

（3）如圖，①當(dāng)直線MN在x軸上方時(shí)，設(shè)圓的半徑為R（R＞0），則N（R+1，R），
代入拋物線的表達(dá)式y(tǒng)=x²-2x-3，解得R=

1+ 17

2

②當(dāng)直線MN在x軸下方時(shí)，設(shè)圓的半徑為r（r＞0），
則N（r+1，-r），
代入拋物線的表達(dá)式y(tǒng)=x²-2x-3，解得r=

-1+ 17

2

．
故圓的半徑為

1+ 17

2

或

-1+ 17

2

．   

（4）過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線與AG交于點(diǎn)Q，
易得G（2，-3），直線AG為y=-x-1．
設(shè)P（x，x²-2x-3），則Q（x，-x-1），PQ=-x²+x+2．
S_△APG=S_△APQ+S_△GPQ=

1

2

（-x²+x+2）×3          
當(dāng)x=

1

2

時(shí)，△APG的面積最大
此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

1

2

，-

15

4

），S_△APG的最大值為

27

8

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，點(diǎn)與函數(shù)的關(guān)系，三角函數(shù)的性質(zhì)以及圓的切線的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想，方程思想與分類討論思想的應(yīng)用．