Question

如圖所示．ABCD是梯形，AD∥BC，AD＜BC，AB=AC且AB⊥AC，BD=BC，AC，BD交于O．求∠BCD的度數(shù)．

Answer 1

解：過D作DE⊥EC于E，則DE的長度即為等腰Rt△ABC斜邊上的高AF，
設(shè)AB=a，由于△ABF也是等腰直角三角形，由勾股定理知AF²+BF²=AB²，
即2AF²=a²（AF=BF），
∴AF²=，
∴DE²=，
又BC²=AB²+AC²=2AB²=2a²，
由于BC=DB，
∴在Rt△BED中，===，
∴=，
從而∠EBD=30°（直角三角形中30°角的對邊等于斜邊一半定理的逆定理）．
在△CBD中，∴．
分析：由于△BCD是等腰三角形，若能確定頂點∠CBD的度數(shù)，則底角∠BCD可求．由等腰Rt△ABC可求知斜邊BC（即BD）的長．又梯形的高，即Rt△ABC斜邊上的中線也可求出．通過添輔助線可構(gòu)造直角三角形，求出∠BCD的度數(shù)．
點評：本題考查了梯形及直角三角形的性質(zhì)，難度一般，關(guān)鍵是通過添輔助線可構(gòu)造直角三角形．