Question

【題目】設(shè)拋物線與x軸的交點(diǎn)分別為A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），頂點(diǎn)為C．若a、b、c滿足，則稱該拋物線為“正定拋物線”；若a、b、c滿足，則稱該拋物線為“負(fù)定拋物線”．特別地，若某拋物線既是“正定拋物線”又是“負(fù)定拋物線”，則稱該拋物線為“對(duì)稱拋物線”．

（1）“正定拋物線”必經(jīng)過x軸上的定點(diǎn)___________；“負(fù)定拋物線”必經(jīng)過x軸上的定點(diǎn)___________．

（2）若拋物線是“對(duì)稱拋物線”，且△ABC是等邊三角形，求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．

（3）若拋物線是“正定拋物線”，設(shè)此拋物線交y軸于點(diǎn)D，△BCD的面積為S，求S與b之間的函數(shù)關(guān)系式．

（4）設(shè)“正定拋物線”(b>0)與x軸的交點(diǎn)分別為、（在的左側(cè)），頂點(diǎn)為M；“負(fù)定拋物線”(b>0)與x軸的交點(diǎn)分別為、（在的左側(cè)），頂點(diǎn)為N．在兩條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式中，當(dāng)同時(shí)滿足y隨x的增大而增大時(shí)的所有x的值在x軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)恰好是線段 （包括端點(diǎn)）時(shí)，直接寫出此時(shí)以M、N、、為頂點(diǎn)的四邊形的面積．

Answer 1

【答案】（1）（1，0），（-1，0）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（4）8．

【解析】（1）“正定拋物線”a、b、c滿足，即當(dāng)x=1時(shí)，y=a+b+c=0,過點(diǎn)（1,0）；“負(fù)定拋物線”a、b、c滿足，即當(dāng)x=-1時(shí)，y=a-b+c=0,過點(diǎn)（-1,0）；

（2）根據(jù)“對(duì)稱拋物線”的定義，可知拋物線經(jīng)過（1,0）、（-1,0），根據(jù)△ABC是等邊三角形，得出c=或c=-，從而可求出拋物線對(duì)應(yīng)的解析式；

（3）拋物線是“正定拋物線”， 拋物線經(jīng)過（1,0），代入得1+b+c=0，即c=-b-1，表示出C（，），D（0，-b-1），然后分三種情況寫出S即可；

（4）根據(jù)滿足y隨x的增大而增大時(shí)的所有x的值在x軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)恰好是線段 （包括端點(diǎn)）可知，“正定拋物線”(b>0)的對(duì)稱軸是x=-1，“負(fù)定拋物線”(b>0) 的對(duì)稱軸是x=1，結(jié)合“正定拋物線”與“負(fù)定拋物線”的定義求解即可.

（1）“正定拋物線”a、b、c滿足，即當(dāng)x=1時(shí)，y=a+b+c=0,過點(diǎn)（1,0）；“負(fù)定拋物線”a、b、c滿足，即當(dāng)x=-1時(shí)，y=a-b+c=0,過點(diǎn)（-1,0）；

（2）∵拋物線是“對(duì)稱拋物線”，

∴拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1，0）、（-1，0）．

∴ 解得

∵△ABC是等邊三角形，

∴．

∴或．

當(dāng)時(shí)，．

此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為．

當(dāng)時(shí)，．

此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為．

（3）∵拋物線是“正定拋物線”，

∴．

∴．

∴．

∵點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線和y軸的交點(diǎn)，

∴，．

當(dāng)時(shí)．

．

當(dāng)時(shí)．

．

當(dāng)時(shí)．/p>

（4）由題意得，“正定拋物線”(b>0)的對(duì)稱軸是x=-1，“負(fù)定拋物線”(b>0) 的對(duì)稱軸是x=1，

∵，

∴b=2.

∵是“正定拋物線”，

∴1+b+m=0,

∴m=-b-1=-3,

∴M的橫坐標(biāo)是，

∴A2M=4.

同理可求B1N=4，

∴A2M=B1N，

∴四邊形A2MB1N是平行四邊形，

∴S四邊形A2MB1N=2×4=8．