Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+2分別交x軸、y軸于A、B兩點，過點C（2，2）作x軸垂線，垂足為D，連BC．現(xiàn)有動點P、Q同時從A點出發(fā)，分別沿AB、AD向點B和點D運動（P、Q兩點中有一點到達(dá)目標(biāo)點，兩者的運動隨即停止），若點P的運動速度為cm/s，點Q的運動速度為2cm/s．設(shè)運動的時間為ts．
（1）求A、B兩點的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)CQ∥AB時，求t的值；
（3）是否存在這樣的時刻t，使△CPQ為等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把x=0，y=0分別代入函數(shù)解析式，求出即可；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出BC=2=AQ，即可求出答案；
（3）根據(jù)勾股定理分別求出CP、PQ、CQ的平方，分為三種情況：當(dāng)CP=CQ時，當(dāng)PQ=CQ時，當(dāng)CP=PQ時，代入求出即可．
解答：（1）解：∵直線y=x+2分別交x軸、y軸于A、B兩點，
∴當(dāng)x=0時，y=2，
當(dāng)y=0時，x=-2，
∴A（-2，0），B（0，2）；

（2）解：∵B（0，@），C（2，2），
∴BC=2，BC∥AD，
∵CQ∥AB，
∴四邊形BCQA是平行四邊形，
∴AQ=BC=2，
∴t=2÷2=1；

（3）解：存在，
理由是：如圖1，過P作EF⊥AD，交AD于F，交直線CB于E，
∵∠AOB=90°，OA=OB=2，
∴∠BAD=45°，
∵PF⊥AD，
∴∠PFA=90°，
∴∠BAD=∠FPA=45°，
∵AP=t，
∴AP=PF=t，
∵AQ=2t，
∴QF=t，
在Rt△PQF中，由勾股定理得：PQ²=t²+t²，
在Rt△DCQ中，由勾股定理得：CQ²=2²+（2+2-2t）²，
∵BC∥AD，
∴∠BAD=45°=∠EBP，
∵∠E=90°，
∴∠EBP=∠EPB=45°，
∴EP=EB=2-2t，
在Rt△PEC中，由勾股定理得：CP²=（2-2t）²+（2-2t+2）²，
分為三種情況：①如圖2，當(dāng)CQ=PQ時，2t²=2²+（2+2-2t）²，
t=4+（比AD的值大，舍去），t=4-；
②如圖2，

當(dāng)CP=CQ時，（2+2-2t）²+（2-2t）²=2²+（4-2t）²，
t=0（舍去），t=2（；
③如圖3，

當(dāng)CP=PQ時，F(xiàn)Q=AD-AF-DQ=4-t-（4-2t）=t，PF=t，EP=EB=OF=2-t，CE=2+2-t，
由勾股定理得：（2-t）²+（2+2-t）²=t²+t²，
t=，
即存在這樣的時刻t，使△CPQ為等腰三角形，t的值是2s或s或（4-）s．
點評：本題考查了正方形性質(zhì)，函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，等腰三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，用了分類討論思想．