Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=Rt∠，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，且AE=BC=6，BE=AD=2，給出下列結(jié)論：①梯形的面積等于32；②CD的長(zhǎng)為4

5

；③DE平分∠ADC；④△DEC為等腰直角三角形；⑤∠BCD=60°．其中正確的個(gè)數(shù)有（　　）

A．2個(gè)

B．3個(gè)

C．4個(gè)

D．5個(gè)

Answer 1

分析：由AD平行與BC，利用兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，根據(jù)∠ABC為直角，得到∠DAC為直角，得到一對(duì)直角相等，再由AD=BE，AE=BC，利用SAS可得出三角形ADE與三角形BEC全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到DE=EC，同時(shí)得到∠ADE=∠BEC，再由直角三角形的兩銳角互余及同角的余角相等得到∠DEC為直角，可得出三角形DEC為等腰直角三角形，即選項(xiàng)④正確；在直角三角形ADE中，由AD與AE的長(zhǎng)，利用勾股定理求出DE的長(zhǎng)，即為EC的長(zhǎng)，在直角三角形DEC中，利用勾股定理求出DC的長(zhǎng)，即可對(duì)選項(xiàng)②作出判斷；根據(jù)梯形ABCD的面積=直角三角形ADE的面積+直角三角形BEC的面積+直角三角形DEC的面積，即可求出梯形ABCD的面積，對(duì)選項(xiàng)①作出判斷；由三角形DEC為等腰直角三角形，可得出∠EDC=45°，而∠ADE不等于45°，故DE不平分∠ADC，選項(xiàng)③錯(cuò)誤；過D作DF垂直于BC，由DF=AB=AE+EB，求出DF的長(zhǎng)，在直角三角形DFC中，由DF與DC的長(zhǎng)，利用勾股定理求出FC的長(zhǎng)，利用銳角三角函數(shù)定義求出cos∠BCD的值，利用特殊角的三角函數(shù)值即可判斷選項(xiàng)⑤是否正確，綜上，得到正確選項(xiàng)的個(gè)數(shù)．

解答：解：∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，又∠ABC=90°，
∴∠DAB=90°，
在△ADE和△BEC中，
∵

AD=BE ∠DAC=∠EBC=90° AE=BC

，
∴△ADE≌△BEC（SAS），
∴DE=EC，∠ADE=∠BEC，
又∵∠AED+∠ADE=90°，
∴∠AED+∠BEC=90°，
∴∠DEC=90°，
∴△DEC為等腰直角三角形，選項(xiàng)④正確；
∴∠EDC=45°，而∠ADE≠45°，
∴DE不平分∠ADC，選項(xiàng)③錯(cuò)誤；
在Rt△ADE中，AE=6，AD=2，
根據(jù)勾股定理得：DE=

AE2+AD2

=2

10

，
∴CE=DE=2

10

，
在Rt△DEC中，根據(jù)勾股定理得：DC=

CE2+DE2

=4

5

，選項(xiàng)②正確；
S_梯形ABCD=S_△ADE+S_△BEC+S_△DEC=2×

1

2

×6×2+

1

2

×2

10

×2

10

=32，選項(xiàng)①正確；
過D作DF⊥BC，則DF=AB=AE+EB=6+2=8，
在Rt△CDF中，根據(jù)勾股定理得：CF=

DC2-DF2

=4，
cos∠BCD=

CF

DC

=

4

4 5

=

5

5

≠

1

2

，
∠BCD≠60°，選項(xiàng)⑤錯(cuò)誤，
則其中正確的選項(xiàng)有①②④，共3個(gè)．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直角梯形，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及銳角三角函數(shù)定義，是一道綜合性較強(qiáng)的試題．