Question

已知：二次函數(shù)y=x²-4x+m的圖象與x軸交于不同的兩點(diǎn)A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂），其頂點(diǎn)是點(diǎn)C，對(duì)稱軸與x軸的交于點(diǎn)D．
（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）如果（x₁+1）（x₂+1）=8，求二次函數(shù)的解析式；
（3）把（2）中所得的二次函數(shù)的圖象沿y軸上下平移，如果平移后的函數(shù)圖象與x軸交于點(diǎn)A₁、B₁，頂點(diǎn)為點(diǎn)C₁，且△A₁B₁C₁是等邊三角形，求平移后所得圖象的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析：（1）由二次函數(shù)y=x²-4x+m的圖象與x軸交于不同的兩點(diǎn)，可得判別式△＞0，然后由△=16-4m，即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系即可得x₁•x₂=m，x₁+x₂=4，又由（x₁+1）（x₂+1）=8，即可求得m的值，繼而求得此二次函數(shù)的解析式；
（3）設(shè)平移b個(gè)單位，由對(duì)稱軸為x=2，C（2，-1），即可得C₁（2，-1+b），又由△A₁B₁C₁是等邊三角形，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得b的值，繼而求得平移后所得圖象的函數(shù)解析式．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=x²-4x+m的圖象與x軸交于不同的兩點(diǎn)，
∴△=16-4m＞0，
∴m＜4，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為：m＜4；

（2）∵y=x²-4x+m，
∴x₁•x₂=m，x₁+x₂=4，
由（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+（x₁+x₂）+1=8，
即m+4+1=8，
∴m=3，
∴二次函數(shù)的解析式為：y=x²-4x+3；

（3）∵對(duì)稱軸為x=2，C（2，-1），
設(shè)平移b個(gè)單位，
則y=x²-4x+3+b=（x-2）²-1+b，
∴C₁（2，-1+b），
根據(jù)勾股關(guān)系得出：|

-1+b

x1-x2

|=

3

2

，
又∵x₁•x₂=3+b，x₁+x₂=4，
∴（x₁-x₂）²=4-4b，
解得：b=-2或1，
代入函數(shù)，b=1時(shí)，與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，不適合，
當(dāng)b=-2時(shí)，y=x²-4x+1，原函數(shù)圖象向下平移2個(gè)單位可得．
∴平移后所得圖象的函數(shù)解析式為：y=x²-4x+1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，判別式與根與系數(shù)的關(guān)系，平移的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．