Question

如圖，經過原點的拋物線與軸的另一個交點為A.過點作直線軸于點M，交拋物線于點B.記點B關于拋物線對稱軸的對稱點為C（B、C不重合）.連結CB,CP。
【小題1】當時，求點A的坐標及BC的長；
【小題2】當時，連結CA，問為何值時？
【小題3】過點P作且，問是否存在，使得點E落在坐標軸上？若存在，求出所有滿足要求的的值，并定出相對應的點E坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【小題1】當m=3時，y=－x²+6x
令y=0，得－x²+6x=0，
∴∴A(6,0)
當x=1時，y=5，∴B（1,5）
又∵拋物線的對稱軸為直線x=3，
又∵B、C關于對稱軸對稱，∴BC="4" （4分）
【小題2】過點C作CH⊥x軸于點H（如圖1）

由已知得∠ACP=∠BCH=90°
∴∠ACH=∠PCB
又∵∠AHC=∠PBC=90°，
∴△ACH∽△PCB

∵拋物線的
對稱軸為直線x=m，其中，
又∵B，C關于對稱軸對稱，
∴BC=2(m－1)
∵B(1,2 m－1),P(1,m),
∴BP= m－1，
又∵A(2m,0),C(2m－1,2m－1),
∴H(2m－1,0)
∴AH=1,CH=2m－1
∴（8分）
【小題3】∵B，C不重合，∴m≠1，
(Ⅰ)當m＞1時，BC=2(m－1)
PM="m," BP= m－1.
(ⅰ)若點E在x軸上（如圖2），

∵∠CPE=90°，
∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP =90°
∴∠MEP=∠BPC
又∵∠PME=∠CBP=90°，PC=EP
∴△BPC≌△MEP
∴BC=PM，
∴2(m－1)=m
∴m=2
此時點E的坐標是（2,0）
(ⅱ)若點E在y軸上（如圖3）

過點P作PN⊥y軸于點N，
易證△BPC≌△NPE，
∴BP=NP=OM=1，
∴ m－1=1，
∴m=2，
此時點E的坐標是（0,4）
(Ⅱ)當0＜m＜1時， BC=2(m－1)，PM=m
BP= m－1.
(ⅰ) 若點E在x軸上（如圖4），

易證△PBC≌△MEP，
∴BC=PM
2(m－1)=m
∴m=
此時點E的坐標是（,0）
(ⅱ)若點E在y軸上（如圖5）

過點P作PN⊥y軸于點N，
易證△BPC≌△NPE，
∴BP=NP=OM=1，
∴ 1－m =1，
∴m=0，（∵m>0,舍去）
綜上所述，當m=2時，點E的坐標是（2,0）或（0,4）；
當m=時，點E的坐標是（,0）（14分）

解析