Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上，線段OA、OB的長(zhǎng)(0A<OB)是方程組的解，點(diǎn)C是直線與直線AB的交點(diǎn)，點(diǎn)D在線段OC上，OD=

  (1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

  (2)求直線AD的解析式；

  (3)P是直線AD上的點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以0、A、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

(1) (3，6) (2) y=-x+6 (3)  Q₁(-3，3) Q₂(3，-3) Q₃(3，-3) Q₄(6，6)

【解析】解：(1)OA=6，OB=12  ……………………………………………………………1分

   直線AB……………………………………1分

聯(lián)立……………………………………2分

    ∴ 點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3，6)……………………………………………………1分

  (2)

     點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，4)……………………………………………………1分

    設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b．

    把A(6，0)，D(2，4)代人得……………………………………1分

    解得

    ∴ 直線AD的解析式為y=-x+6  ………………………………………1分

  (3)存在．

    Q₁(-3，3)……………………………………………………………1分

    Q₂(3，-3)………………………………………………………………1分

    Q₃(3，-3)  …………………………………………………………………1分

    Q₄(6，6)  ……………………………………………………………………1分

（1）設(shè)直線AB的解析為y=kx+b，解方程組方程組 2x=y，x-y=6 ，得到的解即為OA，OB的長(zhǎng)度，進(jìn)而知道A和B的坐標(biāo)，再把其橫縱坐標(biāo)分別代入求出k和b的值即可；把求出的解析式和直線y=2x聯(lián)立解方程組，方程組的解即為點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）要求直線AD的解析式，需求出D的坐標(biāo)，因?yàn)辄c(diǎn)D在直線OC上因此可設(shè)D（a，2a），又因?yàn)镺D=，由勾股定理可求出a的值，從而求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，把A、D的坐標(biāo)代入，利用方程組即可求解；

（3）由（2）中D的坐標(biāo)可知，DF=AF=4，所以∠OAD=45°，因?yàn)橐設(shè)、A、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，所以需分情況討論：若P在x軸上方，OAPQ是菱形，則PQ∥OA，PQ=OA=6=AP，過(guò)P作PM⊥x軸，因?yàn)椤螼AD=45°，利用三角函數(shù)可求出PM=AM=，OM=6-，即P（6- ， ），所以Q的橫坐標(biāo)為6--6=-，Q1（-， ）；若P在x軸下方，OAPQ是菱形，則PQ∥OA，PQ=OA=6=AP．過(guò)P作PM⊥x軸，因?yàn)椤螹AP=∠OAD=45°，利用三角函數(shù)可求出PM=AM=，OM=6+，即P（6+，-），所以Q的橫坐標(biāo)為6+-6=，Q₂（，-）；若Q在x軸上方，OAQP是菱形，則∠OAQ=2∠OAD=90°，所以此時(shí)OAQP是正方形．又因正方形邊長(zhǎng)為6，所以此時(shí)Q（6，6）；若Q在x軸下方，OPAQ是菱形，則∠PAQ=2∠OAD=90°，所以此時(shí)OPAQ是正方形．又因正方形對(duì)角線為6，由正方形的對(duì)稱性可得Q（3，-3）．