Question

【題目】如圖，拋物線的頂點(diǎn)為C，對(duì)稱軸為直線，且經(jīng)過點(diǎn)A(3,－1)，與y軸交于點(diǎn)B.

（1）求拋物線的解析式；

（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由；

（3）經(jīng)過點(diǎn)A的直線交拋物線于點(diǎn)P，交x軸于點(diǎn)Q，若，試求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）△ABC是直角三角形，理由見解析；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為、、或

【解析】分析：（1）利用待定系數(shù)法，聯(lián)立方程組即可解得；（2）利用解析式，可得B（0,2），C（1,3），再由A（3，-1），求出AB,AC,BC ，利用勾股定理的逆定理即可得出結(jié)果；（3）分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)Q在線段AP上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)Q在PA延長(zhǎng)線上時(shí)，可得點(diǎn)P的坐標(biāo).

本題解析：

(1)由題意得：， 解得：

∴拋物線的解析式為

（2）由得：當(dāng)時(shí)，y=2.，∴，由得，

∵A(3,－1)，∴,∴

∴∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形.

（3）①如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AP上時(shí)，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，AD⊥x軸于點(diǎn)D

∵,∴PA=2AQ，∴PQ=AQ

∵PE∥AD，∴△PQE∽△AQD,

∴,∴PE=AD=1

由得：

∴P或

②如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在PA延長(zhǎng)線上時(shí)，過點(diǎn)P作PE⊥xE，AD⊥x軸于點(diǎn)D

∵,∴PA=2AQ，∴PQ=3AQ

∵PE∥AD，∴△PQE∽△AQD,

∴,∴PE=3AD=3

由得：，∴P或.

綜上可知：點(diǎn)P的坐標(biāo)為、、或