Question

已知y關(guān)于x的函數(shù)：y=（k-2）x²-2（k-1）x+k+1中滿足k≤3．
（1）求證：此函數(shù)圖象與x軸總有交點(diǎn)；
（2）當(dāng)關(guān)于z的方程

z-2

z-3

=

k

z-3

+2有增根時(shí)，求上述函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）本題可將函數(shù)分成一次函數(shù)和二次函數(shù)兩種情況討論：當(dāng)k=2時(shí)，函數(shù)為一次函數(shù)，與x軸一定有交點(diǎn)；
當(dāng)k≠2時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，讓y=0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系以及k的取值范圍我們可判斷出此時(shí)的方程是否有解，如果有解，則必與x軸有交點(diǎn)．
（2）這個(gè)方程有增根，那么增根必為z=3，讓方程去分母后，將z=3代入化簡(jiǎn)而得的整式方程中求出k的值，就可得出函數(shù)的關(guān)系式，有了函數(shù)關(guān)系式就能求出其與x軸的交點(diǎn)了．

解答：解：（1）當(dāng)k=2時(shí)，函數(shù)為y=-2x+3，圖象與x軸有交點(diǎn)．
當(dāng)k≠2時(shí)，△=4（k-1）²-4（k-2）（k+1）=-4k+12；
當(dāng)k≤3時(shí)，△≥0，此時(shí)拋物線與x軸有交點(diǎn)．
因此，k≤3時(shí)，y關(guān)于x的函數(shù)y=（k-2）x²-2（k-1）x+k+1的圖象與x軸總有交點(diǎn)．

（2）關(guān)于z的方程去分母得：z-2=k+2z-6，k=4-z．
由于原分式方程有增根，其根必為z=3．這時(shí)k=1
這時(shí)函數(shù)為y=-x²+2．它與x軸的交點(diǎn)是（-

2

，0）和（

2

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了分式方程，二次函數(shù)與一元二次方程的綜合應(yīng)用，要注意（2）中要學(xué)會(huì)利用增根來(lái)求解．