Question

【題目】將兩塊全等的含角的直角三角板按圖的方式放置，已知，．

固定三角板，然后將三角板繞點順時針方向旋轉至圖所示的位置，與、分別交于點、，與交于點．

①填空：當旋轉角等于時，________度；

②當旋轉角等于多少度時，與垂直？請說明理由．

將圖中的三角板繞點順時針方向旋轉至圖所示的位置，使，與交于點，試說明．

Answer 1

【答案】(1)①；②當旋轉角等于時，與垂直,理由詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）①根據(jù)旋轉的性質得∠A1CA=20°，則利用互余得∠ACB1=70°，然后根據(jù)∠BCB1=∠ACB+∠ACB1進行計算；

②利用AB與A1B1垂直得∠A1ED=90°，則∠A1DE=90°-∠A1=60°，根據(jù)對頂角相等得∠BDC=60°，由于∠B=60°，利用三角形內(nèi)角和定理得∠A1CB=180°-∠BDC-∠B=60°，所以∠ACA1=90°-∠A1CB=30°，然后根據(jù)旋轉的定義得到旋轉角等于30°時，AB與A1B1垂直；

（2）由于AB∥CB1，∠ACB1=90°，根據(jù)平行線的性質得∠ADC=90°，在Rt△ADC中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關系得到CD=AC，再根據(jù)旋轉的性質得AC=A1C，所以CD=A1C，則A1D=CD．

（1）①∵將三角板ABC繞點C順時針方向旋轉至圖2所示的位置，

∴∠A1CA=20°

∴∠ACB1=70°，

∴∠BCB1=∠ACB+∠ACB1=160°；

故答案為160；

②當旋轉角等于時，與垂直．理由如下：

當與垂直時，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

即旋轉角等于時，與垂直；

∵，，

∴，

在中，，

∴，

∵圖中的三角板繞點順時針方向旋轉至圖所示的位置，

∴，

∴，

∴．