Question

【題目】如圖1，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB＝3，AD＝5，點(diǎn)P在邊AD上運(yùn)動(dòng)，以P為圓心，PA為半徑的⊙P與對(duì)角線AC交于A，E兩點(diǎn)．

（1）如圖2，當(dāng)⊙P與邊CD相切于點(diǎn)F時(shí)，求AP的長(zhǎng)；

（2）不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)⊙P與邊CD相切時(shí)，⊙P與平行四邊形ABCD的邊有三個(gè)公共點(diǎn)，隨著AP的變化，⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)也在變化，若公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4，直接寫(xiě)出相對(duì)應(yīng)的AP的值的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）AP＝；（2）＜AP＜或AP＝2.5

【解析】

（1）如下圖，連接PF，先在Rt△ABC中，求得AC的長(zhǎng)，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，推導(dǎo)出△DPF∽△DAC，根據(jù)相似三角形邊長(zhǎng)關(guān)系得出AP的長(zhǎng) ；

（2）存在2種情況，一種是點(diǎn)P在移動(dòng)過(guò)程中，先與CD相切，然后點(diǎn)P繼續(xù)向右移動(dòng)，與BC相切，AP的長(zhǎng)在這兩個(gè)臨界點(diǎn)之間；另一種情況是圓剛好過(guò)A、C、D三點(diǎn)時(shí)，也符合題意．

解：（1）如下圖所示，連接PF，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝4，

設(shè)AP＝x，則DP＝10﹣x，PF＝x，

∵⊙P與邊CD相切于點(diǎn)F，

∴PF⊥CD，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∵AB⊥AC，

∴AC⊥CD，

∴AC∥PF，

∴△DPF∽△DAC，

∴，

∴，

∴x＝，AP＝；

（2）當(dāng)⊙P與BC相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為G，圖形如下，

SABCD＝＝5PG，

PG＝，

①當(dāng)⊙P與邊AD、CD分別有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，＜AP＜，即此時(shí)⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4，

②⊙P過(guò)點(diǎn)A、C、D三點(diǎn)．，圖形如下，⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4，

此時(shí)AP＝2.5，

綜上所述，AP的值的取值范圍是：＜AP＜或AP＝2.5．