Question

如圖①，在△ABC中，AB=AC，BC=acm，∠B=30°．動(dòng)點(diǎn)P以1cm/s的速度從點(diǎn)B出發(fā)，沿折線(xiàn)B-A-C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P出發(fā)x s時(shí)，△PBC的面積為y cm²．已知y與x的函數(shù)圖象如圖②所示．請(qǐng)根據(jù)圖中信息，解答下列問(wèn)題：

（1）試判斷△DOE的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)a為何值時(shí)，△DOE與△ABC相似？

Answer 1

分析：（1）首先作DF⊥OE于F，由AB=AC，點(diǎn)P以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，可得點(diǎn)P在邊AB和AC上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，即可得點(diǎn)F是OE的中點(diǎn)，即可證得DF是OE的垂直平分線(xiàn)，可得△DOE是等腰三角形；
（2）設(shè)D（

3

3

a，

3

12

a²），由DO=DE，AB=AC，可得當(dāng)且僅當(dāng)∠DOE=∠ABC時(shí)，△DOE∽△ABC，然后由三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得當(dāng)a=

4 3

3

時(shí)，△DOE∽△ABC．

解答：解：（1）△DOE是等腰三角形．
理由如下：過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于M，
∵AB=AC，BC=acm，∠B=30°，
∴AM=

3

3

×

a

2

=

3

6

a，AC=AB=

3

3

a，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AM=

3

12

a²，
∴P在邊AB上時(shí)，
y=

x

AB

•S_△ABC=

1

4

ax，
P在邊AC上時(shí)，
y=

AB+AC-x

AB

•S_△ABC=

3

6

a²-

1

4

ax，
作DF⊥OE于F，
∵AB=AC，點(diǎn)P以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，
∴點(diǎn)P在邊AB和AC上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，
∴點(diǎn)F是OE的中點(diǎn)，
∴DF是OE的垂直平分線(xiàn)，
∴DO=DE，
∴△DOE是等腰三角形．

（2）由題意得：∵AB=AC，BC=acm，∠B=30°，
∴AM=

3

3

×

a

2

=

3

6

a，
∴AB=

3

3

a，
∴D（

3

3

a，

3

12

a²），
∵DO=DE，AB=AC，
∴當(dāng)且僅當(dāng)∠DOE=∠ABC時(shí)，△DOE∽△ABC，
在Rt△DOF中，tan∠DOF=

yD

xD

=

3 a 2 12

3 3 a

=

1

4

a，
由

1

4

a=tan30°=

3

3

，得a=

4 3

3

，
∴當(dāng)a=

4 3

3

時(shí)，△DOE∽△ABC．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)以及線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．