Question

如圖，將一個邊長為1的正方形紙片ABCD折疊，使點B落在邊AD上（不與A、D重合），MN為折痕，折疊后B′C′與DN交于P．
（1）P判斷△MAB′與△NC′P是否相似？并說明理由；
（2）當B落在什么位置上時，折疊起來的梯形MNC′B′面積最小，并求此時兩紙片重疊部分的面積．

Answer 1

分析：（1）求兩三角形相似，只需證明其中的兩個對應角相等即可；
（2）先求出梯形MNC′B′面積最小時，點B的位置，兩紙片重疊部分的面積即是梯形MNC′B′的面積減去三角形NPC'的面積．

解答：解：（1）△MAB′與△NC′P相似，
其理由如下：∵∠NC′P=∠B′AM=90°，
又∵∠B′PD+∠PB′D=90°，∠DB′P+∠MB′A=90°，
∴∠MB′A=∠B′PD，
又由∠NPC′=∠B′PD，
∴∠MB′A=∠NPC′，
∴△MAB′∽△NC′P．

（2）如圖，過N作NR⊥AB與R，
則RN=BC=1，
連BB′，交MN于Q．則由折疊知，
△MBQ與△MB′Q關于直線MN對稱，即△MBQ≌△MB′Q，
有BQ=B′Q，MB=MB′，MQ⊥BB′．
∵∠A=∠MQB，
∴△MQB∽△B′AB，
∴

AB′

MQ

=

AB

BQ

=

BB′

MB

．
設AB′=x，則BB′²=1+x²，BQ=

1

2

1+x2

，代入上式得：
BM=B'M=

1

2

(1+x2)．
在Rt△MRN和Rt△B′AB中，
∠MNR+∠BMQ=90°，∠ABB′+∠BMQ=90°，
∴∠MNR=∠ABB′，
∵AB=BC，BC=RN，
∴AB=RN，
∴Rt△MRN≌Rt△B′AB，
∴MR=AB′=x．
故C'N=CN=BR=MB-MR=

1

2

(1+x2)-x=

1

2

（x-1）²．
∴S_{梯形MNC′B′}=

1

2

[

1

2

（x-1）²+

1

2

（x²+1）]×1=

1

2

（x²-x+1）=

1

2

（x-

1

2

）²+

3

8

，
得當x=

1

2

時，即B落在AD的中點處時，梯形面積最小，其最小值

3

8

．
此時，C′N=

1

8

，BM=

5

8

，AM=

3

8

，
由（1）得

S△NPC′

S△MB′A

=(

NC′

AM

)2=(

1

3

)2=

1

9

；
故S_△NPC′=

1

9

×S_△AMB′=

1

9

×(

1

2

×

1

2

×

3

8

）=

1

96

，
所以兩紙片重疊部分的面積為：
S_梯形MB'C'N-S_△NPC′=

3

8

-

1

96

=

35

96

．

點評：本題考查了相似三角形的判定、二次函數的最值、全等三角形的判定和性質及翻轉變換，是一道綜合題，有一定的難度，這要求學生要熟練掌握各部分知識，才能順利解答這類題目．