Question

（2012•河東區(qū)二模）如圖，將一個邊長為1的正方形紙片ABCD折疊，使點B落在邊AD上（不與A、D重合），MN為折痕，折疊后B′C′與DN交于P，則四邊形MNC′B′面積最小值為

3

8

．

Answer 1

分析：先證明△MQB∽△B′AB，再利用相似三角形的性質(zhì)得出C'N的長，再表示出求出梯形MNC′B′面積，進而求出最小值．

解答：解：如圖，過N作NR⊥AB與R，
則RN=BC=1，
連BB′，交MN于Q．則由折疊知，
△MBQ與△MB′Q關于直線MN對稱，即△MBQ≌△MB′Q，
有BQ=B′Q，MB=MB′，MQ⊥BB′．
∵∠A=∠MQB，∠ABQ=∠ABB′，
∴△MQB∽△B′AB，
∴

AB′

MQ

=

AB

BQ

=

BB′

MB

．
設AB′=x，則BB′=

1+x2

，BQ=

1

2

1+x2

，代入上式得：
BM=B'M=

1

2

（1+x2）．
∵∠MNR+∠BMQ=90°，∠ABB′+∠BMQ=90°，
∴∠MNR=∠ABB′，
在Rt△MRN和Rt△B′AB中，
∵

∠MNR=∠ABB′ RN=AB ∠A=∠NRM=90°

，
∴Rt△MRN≌Rt△B′AB（ASA），
∴MR=AB′=x．
故C'N=CN=BR=MB-MR=

1

2

（1+x2）-x=

1

2

（x-1）²．
∴S_{梯形MNC′B′}=

1

2

[

1

2

（x-1）²+

1

2

（x²+1）]×1=

1

2

（x²-x+1）=

1

2

（x-

1

2

）²+

3

8

，
得當x=

1

2

時，梯形面積最小，其最小值

3

8

．
故答案為：

3

8

．

點評：本題考查了相似三角形的判定、二次函數(shù)的最值、全等三角形的判定和性質(zhì)及翻轉(zhuǎn)變換，是一道綜合題，有一定的難度，這要求學生要熟練掌握各部分知識，才能順利解答這類題目．