Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（10，0），∠OBA=90°，BC∥OA，OB=8，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度沿OB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．現(xiàn)點(diǎn)E、F同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，E、F兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．
（1）求梯形OABC的高BG的長(zhǎng)；
（2）連接E、F并延長(zhǎng)交OA于點(diǎn)D，當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到幾秒時(shí)，四邊形ABED是等腰梯形；
（3）動(dòng)點(diǎn)E、F是否會(huì)同時(shí)在某個(gè)反比例函數(shù)的圖象上？如果會(huì)，請(qǐng)直接寫出這時(shí)動(dòng)點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t的值；如果不會(huì)，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)度，再利用三角形的面積公式即可求出斜邊上的高BG；
（2）利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出OD的長(zhǎng)度，再根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)DH的長(zhǎng)就等于AG，列出方程求解即可；
（3）假設(shè)會(huì)在同一反比例函數(shù)圖象上，表示出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)則兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的積等于定值，即相等，列出方程，如果方程有解，說明會(huì)在同一函數(shù)圖象上，求出方程的解就是運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，如果方程無解說明不會(huì)在同一函數(shù)圖象上．

解答：解：（1）根據(jù)題意，AB=

AO2-OB2

=

102-82

=6，
∵2S_△AOB=AB•OB=AO•BG，
∴BG=

AB•OB

AO

=

6×8

10

=4.8；

（2）設(shè)當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到x秒時(shí)，四邊形ABED是等腰梯形，則BE=x，OF=2x，
∵BC∥OA，
∴

BE

OD

=

FB

OF

，即

x

OD

=

8-2x

2x

，
解得OD=

x2

4-x

，
過E作EH⊥OA于H，
∵四邊形ABED是等腰梯形，
∴DH=AG=

AB2-BG2

=

62-4.82

=3.6，
HG=BE=x，
∴DH=10-

x2

4-x

-x-3.6=3.6，
解得x=

28

17

；

（3）會(huì)同時(shí)在某個(gè)反比例函數(shù)的圖象上．
根據(jù)題意，OG=AO-AG=10-3.6=6.4，
∴點(diǎn)E（6.4-t，4.8），
∵OF=2t，
∴2tcos∠AOB=2t×

8

10

=

8

5

t，
2tsin∠AOB=2t×

6

10

=

6

5

t，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（

8

5

t，

6

5

t）
假設(shè)能在同一反比例函數(shù)圖象上，則

8

5

t×

6

5

t=（6.4-t）×4.8，
整理得：2t²+5t-32=0，
△=25-4×2×（-32）=281＞0，
∴方程有解，即E、F會(huì)同時(shí)在某一反比例函數(shù)圖象上，
此時(shí)，t=

-5+ 281

4

，
因此E、F會(huì)同時(shí)在某個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，t=

-5+ 281

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查勾股定理的運(yùn)用、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例、等腰梯形的性質(zhì)和一元二次方程的解的情況，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中需要多加練習(xí)熟練掌握．