【題目】如圖1，在等腰
中，
，點(diǎn)
為邊
上一點(diǎn)（不與點(diǎn)
、點(diǎn)
重合），
，垂足為
，交
于點(diǎn)
.
（1）請(qǐng)猜想
與
之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）若點(diǎn)為邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，垂足為，交
延長(zhǎng)線于點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出圖形，并判斷（1）中的結(jié)論是否成立.若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想并證明.
【答案】（1）猜想：
.證明見(jiàn)解析；（2）如圖2所示，（1）中的結(jié)論仍然成立，證明見(jiàn)解析.
【解析】
（1）結(jié)論：PN=2BM．如圖1中，作PE∥AC交BC于E，交BD于F．只要證明
（ASA）即可解決問(wèn)題；
（2）結(jié)論不變，證明方法類(lèi)似（1）；
（1）猜想：.
證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)
作
，交
于點(diǎn)
，
，
，
.
，
.
∴
.
，
.
∴
.
∵，
∴
.
∵
，
∴
.
∴
.
∴
.
∵
，
∴
.
∴.
（2）如圖2所示，（1）中的結(jié)論仍然成立
證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)作，交
延長(zhǎng)線于點(diǎn)，
∵，
，
∴
，
.
∴
，
.
∴.
∵
，
∴
.
∴
.
∴
.
∵，
∴.
∵，
∴.
∴.
∵
，
∴
.
∴.
∵，
∴.
∴.
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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】甲、乙兩人在同一直線噵路上同起點(diǎn)，同方向同進(jìn)出發(fā)，分別以不同的速度勻速跑步1500米，當(dāng)甲超出乙200米時(shí)，甲停下來(lái)等候乙，甲、乙會(huì)合后，兩人分別以原來(lái)的速度繼續(xù)跑向終點(diǎn)，先到達(dá)終點(diǎn)的人在終點(diǎn)休息，在跑步的整個(gè)過(guò)程中，甲、乙兩人的距離y（米）與出發(fā)的時(shí)間x（秒）之間的關(guān)系如圖所示，則甲到終點(diǎn)時(shí)，乙距離終點(diǎn)______________米。
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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖，長(zhǎng)方形紙片ABCD，點(diǎn)E，F分別在邊AB，CD上，連接EF，將∠BEF對(duì)折 B落在直線EF上的點(diǎn)B′處，得折痕EM；將∠AEF對(duì)折，點(diǎn)A落在直線EF上的點(diǎn)A′得折痕EN，若∠BEM＝62°15′ ，則∠AEN＝_____________．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖，在△ABD中，AC⊥BD于點(diǎn)C， 
，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，tanD＝2，CE＝1，求sin∠ECB的值和AD的長(zhǎng)．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，A是
的中點(diǎn)，AE⊥AC于A，與⊙O及CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，E，且
.
(1)求證：△ADC∽△EBA；
(2)如果AB＝8，CD＝5，求tan∠CAD的值．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖，桌上有9張卡片，每張卡片的一面寫(xiě)數(shù)字1,另一面寫(xiě)數(shù)字-1.每次翻動(dòng)任意2張(包括已翻過(guò)的牌)。改變其向上的面，然后計(jì)算能看到的所有牌面數(shù)字的積請(qǐng)問(wèn)， 當(dāng)翻了2019次時(shí)牌面數(shù)字的積為( )
A.1B.-1C.2019D.-2019
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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣x2+ax+b交x軸于A（1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，直線BP與y軸相交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線y=﹣x2+ax+b的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P是線段BC的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，求sin∠OCB的值．
【答案】(1) y=﹣x2+4x﹣3；(2) 點(diǎn)P的坐標(biāo)為（
，
）；(3) 
.
【解析】分析：（1）將點(diǎn)A、B代入拋物線y=-x2+ax+b，解得a，b可得解析式；
（2）由C點(diǎn)橫坐標(biāo)為0可得P點(diǎn)橫坐標(biāo)，將P點(diǎn)橫坐標(biāo)代入（1）中拋物線解析式，易得P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）由P點(diǎn)的坐標(biāo)可得C點(diǎn)坐標(biāo)，A、B、C的坐標(biāo)，利用勾股定理可得BC長(zhǎng)，利用sin∠OCB=
可得結(jié)果．
詳解：（1）將點(diǎn)A、B代入拋物線y=﹣x2+ax+b可得，
，
解得，a=4，b=﹣3，
∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+4x﹣3；
（2）∵點(diǎn)C在y軸上，
所以C點(diǎn)橫坐標(biāo)x=0，
∵點(diǎn)P是線段BC的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)P橫坐標(biāo)xP=
=
，
∵點(diǎn)P在拋物線y=﹣x2+4x﹣3上，
∴yP=
﹣3=
，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）；
（3）∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，
），點(diǎn)P是線段BC的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2×﹣0=
，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，），
∴BC=
=
，
∴sin∠OCB=
=
=
．
點(diǎn)睛：本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，利用中點(diǎn)求得點(diǎn)P的坐標(biāo)是解答此題的關(guān)鍵．
【題型】解答題
【結(jié)束】
24
【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC是⊙O的直徑，∠ABC=30°，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線BD，與CA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，與半徑AO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線AF，與直徑BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．
（1）求證：△ACF∽△DAE；
（2）若S△AOC=
，求DE的長(zhǎng)；
（3）連接EF，求證：EF是⊙O的切線．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A表示數(shù)a，點(diǎn)B表示數(shù)b，a、b滿足|a﹣20|+（b+10）2＝0，O是數(shù)軸原點(diǎn)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）點(diǎn)A表示的數(shù)為 ，點(diǎn)B表示的數(shù)為 ．
（2）t為何值時(shí)，BQ＝2AQ．
（3）若在點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)的同時(shí)，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度一直沿?cái)?shù)軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，立即改變運(yùn)動(dòng)方向，沿?cái)?shù)軸的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)Q的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在合適的t值，使得PQ＝6？若存在，求出所有符合條件的t值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】我市某校為了創(chuàng)建書(shū)香校園，去年購(gòu)進(jìn)一批圖書(shū)．經(jīng)了解，科普書(shū)的單價(jià)比文學(xué)書(shū)的單價(jià)多4元，用12000元購(gòu)進(jìn)的科普書(shū)與用8000元購(gòu)進(jìn)的文學(xué)書(shū)本數(shù)相等．
（1）文學(xué)書(shū)和科普書(shū)的單價(jià)各多少錢(qián)？
（2）今年文學(xué)書(shū)和科普書(shū)的單價(jià)和去年相比保持不變，該校打算用10000元再購(gòu)進(jìn)一批文學(xué)書(shū)和科普書(shū)，問(wèn)購(gòu)進(jìn)文學(xué)書(shū)550本后至多還能購(gòu)進(jìn)多少本科普書(shū)？
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