Question

【題目】如圖1，在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=AD=4cm，∠BAD=∠B=∠C=∠ADC=90°，點(diǎn)P以1cm/s的速度自點(diǎn)A向終點(diǎn)B運(yùn)動，點(diǎn)Q同時(shí)以1cm/s的速度自點(diǎn)B向終點(diǎn)C運(yùn)動，連接AQ、DP，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t s．

（1）當(dāng)t=　 　s時(shí)，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B；

（2）求證：在運(yùn)動過程中，△ABQ≌△DAP始終成立；

（3）如圖2，作QM∥PD，且QM=PD，作MN⊥射線BC于點(diǎn)N，連接CM，請問在Q的運(yùn)動過程中，∠MCN的度數(shù)是否改變？如果不變，請求出∠MCN；如果改變，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）證明見解析；（3）∠MCN=45°．

【解析】

（1）根據(jù)AB=4cm，點(diǎn)P以1cm/s的速度自點(diǎn)A向終點(diǎn)B運(yùn)動計(jì)算即可；

（2）根據(jù)題意得到AP=BQ，利用SAS定理證明；

（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到QM=AQ，∠AQB=∠QMN，證明△AQB≌△QMN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到QN=AB，MN=BQ，結(jié)合圖形證明即可．

（1）∵AB=4cm，點(diǎn)P以1cm/s的速度自點(diǎn)A向終點(diǎn)B運(yùn)動，

∴點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B所用的時(shí)間為：4÷1=4（s），

故答案為：4；

（2）在運(yùn)動過程中，AP=BQ=t，

在△ABQ和△DAP中，

，

∴△ABQ≌△DAP；

（3）∠MCN的度不改變，始終為45°，

理由如下：∵△ABQ≌△DAP，

∴AQ=DP，

∵QM=PD，

∴QM=AQ，

∵△ABQ≌△DAP，

∴∠BAQ=∠ADP，

∵∠BAQ+∠DAQ=90°，

∴∠ADP+∠DAQ=90°，即∠AED=90°，

∵QM∥PD，

∴∠AQM=∠AED=90°，

∴∠AQB+∠MQN=90°，

∴∠AQB=∠QMN，

在△AQB和△QMN中，

，

∴△AQB≌△QMN，

∴QN=AB，MN=BQ，

∴BC=QN，

∴BC-QC=QN-QC，即BQ=CN，

∴MN=CN，

∴∠MCN=45°．