Question

求滿足下列條件的正整數(shù)n的所有可能值：對(duì)這樣的n，能找到實(shí)數(shù)a、b，使得函數(shù)f（x）=

1

n

x²+ax+b對(duì)任意整數(shù)x，f（x）都是整數(shù)．

Answer 1

分析：由題意函數(shù)f（x）=

1

n

x²+ax+b對(duì)任意整數(shù)x，f（x）都是整數(shù)，則可令g（x）=f（x+1）-f（x），化簡(jiǎn)后得

2

n

x+

1

n

+a，為整數(shù)；同理，g（x+1）-g（x）=

2

n

也是整數(shù)，所以，n=1或2時(shí)，f（x）都是整數(shù)．

解答：解：設(shè)函數(shù)f（x）=

1

n

x²+ax+b對(duì)任意整數(shù)x，f（x）都是整數(shù)，
則g（x）=f（x+1）-f（x），
=[

1

n

（x+1）²+a（x+1）+b]-[

1

n

x²+ax+b]，
=

2

n

x+

1

n

+a，也為整數(shù)，
則，g（x+1）-g（x）=

2

n

也是整數(shù)，
所以，n=1或2，
當(dāng)n=1時(shí)，取整數(shù)a、b，則f（x）=x²+ax+b對(duì)任意整數(shù)x，f（x）都是整數(shù)，
當(dāng)n=2時(shí)，取a=

1

2

，b為整數(shù)，則f（x）=

1

2

x²+

1

2

x+b=

1

2

x（x+1）+b，對(duì)于任意整數(shù)x，f（x）都是整數(shù)．
綜上所述，n=1或2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了含字母系數(shù)的二次函數(shù)，討論g（x）=f（x+1）-f（x）及g（x+1）-g（x）都是整數(shù)，是解答本題的關(guān)鍵．