Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，若點P的橫坐標和縱坐標相等，則稱點P為完美點．已知二次函數的圖象上有且只有一個完美點，且當時，函數的最小值為﹣3，最大值為1，則m的取值范圍是（　　）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據完美點的概念令ax2+4x+c=x，即ax2+3x+c=0，由題意方程有兩個相等的實數根，求得4ac=9，再根據方程的根為=，從而求得a=-1，c=-，所以函數y=ax2+4x+c-=-x2+4x-3，根據函數解析式求得頂點坐標與縱坐標的交點坐標，根據y的取值，即可確定x的取值范圍．

解：令ax2+4x+c=x，即ax2+3x+c=0，
由題意，△=32-4ac=0，即4ac=9，
又方程的根為=，
解得a=-1，c=-，
故函數y=ax2+4x+c-=-x2+4x-3，
如圖，該函數圖象頂點為（2，1），與y軸交點為（0，-3），由對稱性，該函數圖象也經過點（4，-3）．

由于函數圖象在對稱軸x=2左側y隨x的增大而增大，在對稱軸右側y隨x的增大而減小，且當0≤x≤m時，函數y=-x2+4x-3的最小值為-3，最大值為1，
∴2≤m≤4，
故選：C．