Question

（2011•梅州）如圖，已知拋物線y=x²-4x+3與x 軸交于兩點(diǎn)A、B，其頂點(diǎn)為C．
（1）對于任意實(shí)數(shù)m，點(diǎn)M（m，-2）是否在該拋物線上？請說明理由；
（2）求證：△ABC是等腰直角三角形；
（3）已知點(diǎn)D在x軸上，那么在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以B、C、D、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）假如點(diǎn)M（m，-2）在該拋物線上，則-2=m²-4m+3，通過變形為：m²-4m+5=0，由根的判別式就可以得出結(jié)論．
（2）如圖，根據(jù)拋物線的解析式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用勾股定理求出AB、AC和BC的值，由勾股定理的逆定理就可以得出結(jié)論．
（3）假設(shè)存在點(diǎn)P，根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，因此連接點(diǎn)P與點(diǎn)C的線段應(yīng)被x軸平分，就可以求得P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，代入拋物線的解析式就可以求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

解答：解：（1）假如點(diǎn)M（m，-2）在該拋物線上，
∴-2=m²-4m+3，
∴m²-4m+5=0，
∴△=（-4）²-4×1×5=-4＜0，
∴此方程無實(shí)數(shù)解，
∴點(diǎn)M（m，-2）不會(huì)在該拋物線上；

（2）過點(diǎn)C作CH⊥x軸，交x軸與點(diǎn)H，連接CA、CB，
如圖，當(dāng)y=0時(shí)，x²-4x+3=0，x₁=1，x₂=3，由于點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，
∴A（1，0），B（3，0）
∴OA=1，OB=3，
∴AB=2
∵y=x²-4x+3
∴y=（x-2）²-1，
∴C（2，-1），
∴AH=BH=CH=1
在Rt△AHC和Rt△BHC中，由勾股定理得，
AC=

2

，BC=

2

，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是等腰直角三角形；

（3）存在這樣的點(diǎn)P．
根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，因此連接點(diǎn)P與點(diǎn)C的線段應(yīng)被x軸平分，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是1，
∵點(diǎn)P在拋物線y=x²-4x+3上，
∴當(dāng)y=1時(shí)，即x²-4x+3=1，解得x₁=2-

2

，x₂=2+

2

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2-

2

，1）或（2+

2

，1）．

點(diǎn)評：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理的逆定理的運(yùn)用，根的判別式的使用，平行四邊形的判定及性質(zhì)．