Question

17．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（a，3），點P在坐標(biāo)軸上，若使得△AOP是等腰三角形的點P恰有6個，則滿足條件的a的值為$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$，-3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，要使△AOP是等腰三角形，可以分兩種情況考慮：當(dāng)OA是底邊時，作OA的垂直平分線，和坐標(biāo)軸出現(xiàn)交點；當(dāng)OA是腰時，則分別以點O、點A為圓心，OA為半徑畫弧，和坐標(biāo)軸出現(xiàn)交點，而已知點A（a，3）在一、二象限，且使得△AOP是等腰三角形的點P恰有6個，所以這樣的點使得△AOP是等邊三角形，這樣的點在第一象限有兩個，在第二象限有兩個．

解答 解：如圖∵A（a，3），
∴點A在第一，二象限，
當(dāng)點A在第一象限，△A₁OP₁，△A₂OP₂為等邊三角形時，
使得△AOP是等腰三角形的點P恰有6個，
∵△A₁P₁O是等邊三角形，
∴∠A₁OP₁=60°，
∴∠P₂OA₁=30°OB=3，
∴A₁B=$\sqrt{3}$，∴a=$\sqrt{3}$，
∵△A₂OP₂是等邊三角形，
∴∠P₂OA₂=60°，OP₂=6，
∴A₂B=3$\sqrt{3}$，∴a=3，
當(dāng)點A在第二象限，存在符合條件的點與第一象限的點A關(guān)于y軸對稱，
∴a=-$\sqrt{3}$，或a=-3$\sqrt{3}$，
∴滿足條件的a的值由4個，
故答案為：$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$，-3$\sqrt{3}$．

點評 此題考查了等腰三角形的定義，運用數(shù)形結(jié)合的思想進行解決．