Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，sin∠BAC=

3

5

，P是邊AC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC，過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC，交PD于點(diǎn)D，連接并延長(zhǎng)DC，交邊AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．設(shè)A、P兩點(diǎn)的距離為x，B、E兩點(diǎn)的距離為y．
（1）求BC的長(zhǎng)度；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出它的定義域；
（3）當(dāng)△ACD是等腰三角形時(shí)，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)sin∠BAC=

BC

AC

=

3

5

，設(shè)BC=3x，AC=5x，由勾股定理建立方程求出其解就可以求出BC的值；
（2）在Rt△ABC中由勾股定理可以求出AC的值，就可以求出x的取值范圍，由AD∥BC可以得出△BEC∽△AED，就有

BE

AE

=

BC

AD

，由條件可以得出∠ADP=∠CAB，根據(jù)三角函數(shù)值就可以求出結(jié)論；
（3）通過(guò)分類(lèi)討論，當(dāng)AD=DC時(shí)，當(dāng)AD=AC時(shí)，當(dāng)AC=CD時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)就可以求出AP對(duì)應(yīng)的值，然后代入（2）的解析式就可以BE的值．

解答：解：（1）∵，∠ABC=90°，sin∠BAC=

3

5

，
∴

BC

AC

=

3

5

．
∵AB=4，設(shè)BC=3x，AC=5x，在Rt△ABC中，由勾股定理，得
25x²-9x²=16，
解得：x=1，
BC=3，AC=5，
答：BC=3；
（2）∵AD∥BC，
∴△BEC∽△AED，∠DAB=∠CBE=∠ABC=90°．
∴

BE

AE

=

BC

AD

，∠DAP+∠CAB=90°．
∵PD⊥AC，
∴∠APD=90°，
∴∠ADP+∠DAP=90°．
∴∠ADP=∠CAB．
sin∠ADP=

AP

AD

=sin∠BAC=

3

5

AD=

5

3

AP．
∵AP=x，BE=y，
∴AE=4+y，
∴

y

4+y

=

3

5 3 x

，
y=

36

5x-9

．
∵y＞0，
∴5x-9＞0，
∴x＞

9

5

∵P是邊AC上一點(diǎn)，且AC=5，
∴

9

5

＜x≤5；
（3）如圖1，當(dāng)AD=DC時(shí)
AP=

1

2

AC=

5

2

，
∴BE=

36

5× 5 2 -9

，
∴BE=

72

7

；
如圖1，當(dāng)AD=AC時(shí)
AP=3，AD=AC=5
BE=

36

5×3-9

=6；
如圖2，當(dāng)AC=CD時(shí)，作CF⊥AD于F，
∴AD=2AF，∠AFC=90°，
∴四邊形ABCF是矩形，
∴AF=BC=3，
∴AD=6．
∵

AP

AD

=

3

5

，
∴

AP

6

=

3

5

，
∴AP=

18

5

．
∴BE=

36

5× 18 5 -9

=4；
綜上所述：BE的長(zhǎng)為：

72

7

，6，4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)值的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，在解答第二問(wèn)時(shí)證明三角形相似是關(guān)鍵，解答第三問(wèn)靈活運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵．