Question

（2012•柳州）如圖，在△ABC中，AB=2，AC=BC=

5

．
（1）以AB所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系如圖，請(qǐng)你分別寫出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求過(guò)A、B、C三點(diǎn)且以C為頂點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）若D為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)D點(diǎn)坐標(biāo)為何值時(shí)，S_△ABD=

1

2

S_△ABC；
（4）如果將（2）中的拋物線向右平移，且與x軸交于點(diǎn)A′B′，與y軸交于點(diǎn)C′，當(dāng)平移多少個(gè)單位時(shí)，點(diǎn)C′同時(shí)在以A′B′為直徑的圓上（解答過(guò)程如果有需要時(shí)，請(qǐng)參看閱讀材料）．
 
附：閱讀材料
一元二次方程常用的解法有配方法、公式法和因式分解法，對(duì)于一些特殊方程可以通過(guò)換元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程求解．如解方程：y⁴-4y²+3=0．
解：令y²=x（x≥0），則原方程變?yōu)閤²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3．
當(dāng)x₁=1時(shí)，即y²=1，∴y₁=1，y₂=-1．
當(dāng)x₂=3，即y₂=3，∴y₃=

3

，y₄=-

3

．
所以，原方程的解是y₁=1，y₂=-1，y₃=

3

，y₄=-

3

．
再如x²-2=4

x2-2

，可設(shè)y=

x2-2

，用同樣的方法也可求解．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)y軸是AB的垂直平分線，則可以求得OA，OB的長(zhǎng)度，在直角△OBC中，利用勾股定理求得OC的長(zhǎng)度，則A、B、C的坐標(biāo)即可求解；
（2）利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；
（3）首先求得△ABC的面積，根據(jù)S_△ABD=

1

2

S_△ABC，以及三角形的面積公式，即可求得D的縱坐標(biāo)，把D的縱坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式，即可求得橫坐標(biāo)．
（4）設(shè)拋物線向右平移c個(gè)單位長(zhǎng)度，則0＜c≤1，可以寫出平移以后的函數(shù)解析式，當(dāng)點(diǎn)C′同時(shí)在以A′B′為直徑的圓上時(shí)有：OC′²=OA′•OB′，據(jù)此即可得到一個(gè)關(guān)于c的方程求得c的值．

解答：解：（1）∵AB的垂直平分線為y軸，
∴OA=OB=

1

2

AB=

1

2

×2=1，
∴A的坐標(biāo)是（-1，0），B的坐標(biāo)是（1，0）．
在直角△OBC中，OC=

BC2-OB2

=2，
則C的坐標(biāo)是：（0，2）；

（2）設(shè)拋物線的解析式是：y=ax²+b，
根據(jù)題意得：

a+b=0 b=2

，
解得：

a=-2 b=2

，
則拋物線的解析式是：y=-2x²+2；

（3）∵S_△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

×2×2=2，
∴S_△ABD=

1

2

S_△ABC=1．
設(shè)D的縱坐標(biāo)是m，則

1

2

AB•|m|=1，
則m=±1．
當(dāng)m=1時(shí)，-2x²+2=1，解得：x=±

2

2

，
當(dāng)m=-1時(shí)，-2x²+2=-1，解得：x=±

6

2

，
則D的坐標(biāo)是：（

2

2

，1）或（-

2

2

，1）或（

6

2

，-1），或（-

6

2

，-1）．

（4）設(shè)拋物線向右平移c個(gè)單位長(zhǎng)度，則0＜c≤1，OA′=1-c，OB′=1+c．
平移以后的拋物線的解析式是：y=-2（x-c）²+b．
令x=0，解得y=-2c²+2．即OC′=-2c²+2．
當(dāng)點(diǎn)C′同時(shí)在以A′B′為直徑的圓上時(shí)有：OC′²=OA′•OB′，
則（-2c²+2）²=（1-c）（1+c），
即（4c²-3）（c²-1）=0，
解得：c=

3

2

，-

3

2

（舍去），1，-1（舍去）．
故平移

3

2

或1個(gè)單位長(zhǎng)度．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，以及圖象的平移，正確理解：當(dāng)點(diǎn)C′同時(shí)在以A′B′為直徑的圓上時(shí)有：OC′²=OA•OB，是解題的關(guān)鍵．