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        1. 操作:如圖,在正方形ABCD中,P是CD上一動(dòng)點(diǎn)(與C、D不重合),使三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)P重合,并且一條直角邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,另一直角邊與正方形的某一邊所在直線交于點(diǎn)E.

           探究:①觀察操作結(jié)果,哪一個(gè)三角形與△BPC相似,寫出你的結(jié)      論,(找出兩對(duì)即可);并選擇其中一組說(shuō)明理由;

          ②當(dāng)點(diǎn)P位于CD的中點(diǎn)時(shí),直接寫出① 中找到的兩對(duì)相似三角形的相似比和面積比.

           


          解:分兩種情況:

          ①如圖(1),

          ∵∠BPE=90°,

          ∴∠BPC+∠DPE=90°,又∠BPC+∠PBC=90°,

          ∴∠PBC=∠DPE,又∠C=∠D=90°,

          ∴△BPC∽△PED.

          如圖(2),同理可證△BPC∽△BEP∽△PCE.

          ②如圖(1),∵△BPC∽△PED,

          ∴△PED與△BPC的周長(zhǎng)比等于對(duì)應(yīng)邊的比,即PD與BC的比,

          ∵點(diǎn)P位于CD的中點(diǎn),

          ∴PD與BC的比為1:2,

          ∴△PED與△BPC的周長(zhǎng)比1:2,

          △PED與△BPC的面積比1:4

          如圖(2),∵△BPC∽△BEP,

          ∴△BEP與△BPC的周長(zhǎng)比等于對(duì)應(yīng)邊的比,即BP與BC的比,

          ∵點(diǎn)P位于CD的中點(diǎn),

          設(shè)BC=2k,則PC=k,BP=k,

          ∴BP與BC的比為:2,

          △BEP與△BPC的周長(zhǎng)比為:2,△BEP與△BPC的面積比為5:4.

          同理:△PCE∽△BPC,周長(zhǎng)比1:2,面積比1:4.

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