Question

操作：如圖，在正方形ABCD中，P是CD上一動(dòng)點(diǎn)（與C、D不重合），使三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)P重合，并且一條直角邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，另一直角邊與正方形的某一邊所在直線(xiàn)交于點(diǎn)E．

探究：①觀察操作結(jié)果，哪一個(gè)三角形與△BPC相似，寫(xiě)出你的結(jié)論，（找出兩對(duì)即可）；并選擇其中一組說(shuō)明理由；

②當(dāng)點(diǎn)P位于CD的中點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出① 中找到的兩對(duì)相似三角形的相似比和面積比．

 

Answer 1

【答案】

分兩種情況：

①如圖（1），

∵∠BPE=90°，

∴∠BPC+∠DPE=90°，又∠BPC+∠PBC=90°，

∴∠PBC=∠DPE，又∠C=∠D=90°，

∴△BPC∽△PED．

如圖（2），同理可證△BPC∽△BEP∽△PCE．

②如圖（1），∵△BPC∽△PED，

∴△PED與△BPC的周長(zhǎng)比等于對(duì)應(yīng)邊的比，即PD與BC的比，

∵點(diǎn)P位于CD的中點(diǎn)，

∴PD與BC的比為1：2，

∴△PED與△BPC的周長(zhǎng)比1：2，

△PED與△BPC的面積比1:4

如圖（2），∵△BPC∽△BEP，

∴△BEP與△BPC的周長(zhǎng)比等于對(duì)應(yīng)邊的比，即BP與BC的比，

∵點(diǎn)P位于CD的中點(diǎn)，

設(shè)BC=2k，則PC=k，BP=k，

∴BP與BC的比為：2，

△BEP與△BPC的周長(zhǎng)比為：2，△BEP與△BPC的面積比為5：4．

同理：△PCE∽△BPC，周長(zhǎng)比1：2，面積比1：4．

【解析】由于本題直角三角形的擺放方法沒(méi)有確定，因此要分兩種情況進(jìn)行討論：

①直角三角形的斜邊與AD相交；（如圖1）

②直角三角形的斜邊與BC邊在同一條直線(xiàn)上（如圖2）；解題思路一致．

以①為例說(shuō)明：△DEP和△BCP中，∠DEP和∠BPC同為∠DPE的余角，因此這兩角相等，易證得兩三角形相似．當(dāng)P為CD中點(diǎn)時(shí)，PD=CP，可根據(jù)相似三角形得出的比例關(guān)系式求出DE和BC的表達(dá)式，進(jìn)一步可求得兩三角形的相似比和面積比．