Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，點P在對角線AC上，且PA=PD，⊙O是△PAD的外接圓.

⑴求證：AB是⊙O的切線；

⑵若AC=8，tan∠BAC=，求⊙O的直徑.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）⊙O的直徑為．

【解析】

（1）連結(jié)OP、OA，OP交AD于E，由PA=PD得弧AP=弧DP，根據(jù)垂徑定理的推理得OP⊥AD，AE=DE，則∠1+∠OPA=90°，而∠OAP=∠OPA，所以∠1+∠OAP=90°，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得∠1=∠2，所以∠2+∠OAP=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到直線AB與⊙O相切；
（2）連結(jié)BD，交AC于點F，根據(jù)菱形的性質(zhì)得DB與AC互相垂直平分，則AF=4，tan∠BAC=，得到DF=BF=2，根據(jù)勾股定理得到AD=2，求得AE=，求到PE=AE·tan∠DAC= AE·tan∠BAC=設(shè)⊙O的半徑為R，則OE=R-，OA=R，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．

（1）連結(jié)OP、OA，OP交AD于E，如圖，

∵PA=PD，

∴弧AP=弧DP.

∴OP⊥AD，AE=DE.

∴∠1+∠OPA=90°.

∵OP=OA，

∴∠OAP=∠OPA.

∴∠1+∠OAP=90°.

∵四邊形ABCD為菱形，

∴∠1=∠2.

∴∠2+∠OAP=90°.

∴OA⊥AB.

∴直線AB與⊙O相切.

（2）連結(jié)BD，交AC于點F，如上圖，

∵四邊形ABCD為菱形，

∴DB與AC互相垂直平分.

∵AC=8，tan∠BAC=，∠BAC=∠DAC,

∴AF=4，tan∠DAC= tan∠BAC=

∴DF=2.

∴AE=.

在Rt△PAE中，tan∠DAC= tan∠BAC=，

∴PE= PE=AE·tan∠DAC= AE·tan∠BAC=

設(shè)⊙O的半徑為R，則OE=R﹣，OA=R，

在Rt△OAE中，∵OA2=OE2+AE2，

∴R2=（R﹣）2+（）2，

∴R=.

⊙O的直徑為．