Question

【題目】以四邊形ABCD的邊AB、AD為底邊分別作等腰三角形ABE和等腰三角形ADF.

（1）當四邊形ABCD為正方形時（如圖①），以邊AB、AD為斜邊分別向外側(cè)作等腰直角△ABE和等腰直角△ADF，連接BF、ED，線段BF和ED的數(shù)量關(guān)系是_____________；

（2）當四邊形ABCD為矩形時（如圖②），以邊AB、AD為斜邊分別向矩形內(nèi)側(cè)、外側(cè)作等腰直角△ABE和等腰直角△ADF，連接EF、BD，線段EF和BD具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；

（3）當四邊形ABCD為平行四邊形時，以邊AB、AD為底邊分別向平行四邊形內(nèi)側(cè)、外側(cè)作等腰△ABE和等腰△ADF，且△ABE和△ADF的頂角均為 ，連接EF、BD，交點為G.請用表示出∠FGD，并說明理由.

Answer 1

【答案】BF=ED ; （2）,證明見解析;（3）.

【解析】分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD，因等腰三角形ABE 和等腰三角形ADF，可得AE=BE=AF=FD，再證∠EAD=∠FAB，利用SAS證明△AED≌△AFB，即可得BF=ED；（2）EF=BD，利用兩邊對應成比例，夾角相等的兩個三角形相似，證明△BAD∽△EAF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，所以BD=EF；（3）∠FGD=，先證得△ABE∽△ADF，可得，即，再證得∠BAD=∠EAF，所以△BAD∽△EAF，因為 ∠AHF=∠DHG，即可得∠FGD=∠FAD=.

詳解：

（1）BF=ED；

（2）EF=BD；

證明：如圖②，

∵△ABE為等腰直角三角形，AB=AE，∠EAB=45°

同理，∴∠BAE+∠EAD=∠EAD+∠FAD，

即∠BAD=∠EAF，∵AB=AE，AD=AF

∴，∴△BAD∽△EAF，

∴， 即BD=EF；

（3）解：∠FGD=，

如圖，

∵△ABE為等腰三角形，EB=EA，同理FA=FD，

∴，

又∵∠BEA=∠DFA=，

∴△ABE∽△ADF，

∴，即，

∠EAB+∠EAD=∠DFA+∠EAD，即∠BAD=∠EAF，

∴△BAD∽△EAF，

又∵∠AHF=∠DHG,

∴∠FGD=∠FAD=.