Question

【題目】如圖，拋物線交軸于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，連接．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

①當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為，連接，當(dāng)和相似時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

②請(qǐng)直接寫出使的點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①點(diǎn)的坐標(biāo)為或；②點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

【解析】

（1）將、兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線，列出關(guān)于a和b的方程組求解即可；（2）①設(shè)，由點(diǎn)和點(diǎn)可得的表達(dá)式，分兩種情況：當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可；

②如圖，過點(diǎn)B作∠ABC的角平分線分別交y軸、拋物線于點(diǎn)M、P，在x軸的下方作，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，k），求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，得出直線BM的解析式，聯(lián)立方程，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，同理可得點(diǎn).

（1）將、兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式，

可得，解得，

∴拋物線的解析式為；

（2）①設(shè)，

由點(diǎn)和點(diǎn)可得的表達(dá)式：，

則，

，

軸，軸，

，

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，

則，

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，

則，

，

∴當(dāng)與相似時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；

②如圖，過點(diǎn)B作∠ABC的角平分線分別交y軸、拋物線于點(diǎn)M、P，在x軸的下方作∠ABP= ∠ABC，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，k），

∵OB=3，OC=4，

∴BC=5，

∵BM平分∠ABC，

∴MO=MQ，

∴，

即，

解得，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，），

∴直線BM的解析式為，

聯(lián)立，

解得或，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，

由作圖可知，M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，），

同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，

綜上點(diǎn)P的坐標(biāo)為或.