Question

已知：如圖，斜坡PQ的坡度i=1：，在坡面上點(diǎn)O處有一根1m高且垂直于水平面的水管OA，頂端A處有一旋轉(zhuǎn)式噴頭向外噴水，水流在各個(gè)方向沿相同的拋物線落下，水流最高點(diǎn)M比點(diǎn)A高出1m，且在點(diǎn)A測(cè)得點(diǎn)M的仰角為30°，以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，OA所在直線為y軸，過O點(diǎn)垂直于OA的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系．設(shè)水噴到斜坡上的最低點(diǎn)為B，最高點(diǎn)為C．
（1）寫出A點(diǎn)的坐標(biāo)及直線PQ的解析式；
（2）求此拋物線AMC的解析式；
（3）求|x_C-x_B|；
（4）求B點(diǎn)與C點(diǎn)間的距離．

Answer 1

解：（1）過點(diǎn)C作CD⊥x軸一點(diǎn)D，
∵在坡面上點(diǎn)O處有一根1m高且垂直于水平面的水管OA，
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為：A（0，1），
∵斜坡PQ的坡度i=1：，
∴設(shè)C點(diǎn)橫坐標(biāo)為x，則縱坐標(biāo)為：x，
∴直線PQ的解析式為：；

（2）過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，作AF⊥MN于點(diǎn)F，連接AM，
∵水流最高點(diǎn)M比點(diǎn)A高出1m，且在點(diǎn)A測(cè)得點(diǎn)M的仰角為30°，
∴MF=1，MN=2，AM=2，則AF=，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為：（，2），代入y=a（x-） ²+2，
再將（0，1）代入上式得：
1=a（0-） ²+2，
解得：a=-，
此拋物線AMC的解析式為：y=-（x-） ²+2=-x ²+x+1；

（3）將直線PQ的解析式：，以及拋物線AMC的解析式：y=-（x-） ²+2=-x ²+x+1聯(lián)立：
x=-x ²+x+1，
整理得出：x ²-x-3=0，
解得：x₁=，x₂=，
故C點(diǎn)橫坐標(biāo)為：，B點(diǎn)橫坐標(biāo)為：，
∴|x_C-x_B|=-=（m）；

（4）過點(diǎn)B作BH⊥CD于點(diǎn)H，
∵斜坡PQ的坡度i=1：，
∴tan∠CBH==，
∴∠CBH=30°，
∵|x_C-x_B|=BH=，
∴BC===2（m）．
分析：（1）利用AO長(zhǎng)度得出A點(diǎn)坐標(biāo)即可，再利用斜坡PQ的坡度i=1：，求出直線PQ的解析式；
（2）首先根據(jù)已知得出M點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用頂點(diǎn)式求出二次函數(shù)解析式即可；
（3）將直線PQ的解析式：，以及拋物線AMC的解析式：y=-（x-） ²+2=-x ²+x+1聯(lián)立，求出B，C點(diǎn)的橫坐標(biāo)進(jìn)而得出|x_C-x_B|的值；
（4）構(gòu)造直角三角形，利用BC=求出即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及坡度問題和解直角三角形的應(yīng)用等知識(shí)，正確構(gòu)造出直角三角形是解題關(guān)鍵．