Question

已知：如圖，斜坡PQ的坡度i=1：

3

，在坡面上點(diǎn)O處有一根1m高且垂直于水平面的水管OA，頂端A處有一旋轉(zhuǎn)式噴頭向外噴水，水流在各個(gè)方向沿相同的拋物線(xiàn)落下，水流最高點(diǎn)M比點(diǎn)A高出1m，且在點(diǎn)A測(cè)得點(diǎn)M的仰角為30°，以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，OA所在直線(xiàn)為y軸，過(guò)O點(diǎn)垂直于OA的直線(xiàn)為x軸建立直角坐標(biāo)系．設(shè)水噴到斜坡上的最低點(diǎn)為B，最高點(diǎn)為C．
（1）寫(xiě)出A點(diǎn)的坐標(biāo)及直線(xiàn)PQ的解析式；
（2）求此拋物線(xiàn)AMC的解析式；
（3）求|x_C-x_B|；
（4）求B點(diǎn)與C點(diǎn)間的距離．

Answer 1

分析：（1）利用AO長(zhǎng)度得出A點(diǎn)坐標(biāo)即可，再利用斜坡PQ的坡度i=1：

3

，求出直線(xiàn)PQ的解析式；
（2）首先根據(jù)已知得出M點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用頂點(diǎn)式求出二次函數(shù)解析式即可；
（3）將直線(xiàn)PQ的解析式：y=

3

3

x，以及拋物線(xiàn)AMC的解析式：y=-

1

3

（x-

3

） ²+2=-

1

3

x ²+

2 3

3

x+1聯(lián)立，求出B，C點(diǎn)的橫坐標(biāo)進(jìn)而得出|x_C-x_B|的值；
（4）構(gòu)造直角三角形，利用BC=

BH

cos30°

求出即可．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸一點(diǎn)D，
∵在坡面上點(diǎn)O處有一根1m高且垂直于水平面的水管OA，
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為：A（0，1），
∵斜坡PQ的坡度i=1：

3

，
∴設(shè)C點(diǎn)橫坐標(biāo)為x，則縱坐標(biāo)為：

3

3

x，
∴直線(xiàn)PQ的解析式為：y=

3

3

x；

（2）過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，作AF⊥MN于點(diǎn)F，連接AM，
∵水流最高點(diǎn)M比點(diǎn)A高出1m，且在點(diǎn)A測(cè)得點(diǎn)M的仰角為30°，
∴MF=1，MN=2，AM=2，則AF=

3

，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為：（

3

，2），代入y=a（x-

3

） ²+2，
再將（0，1）代入上式得：
1=a（0-

3

） ²+2，
解得：a=-

1

3

，
此拋物線(xiàn)AMC的解析式為：y=-

1

3

（x-

3

） ²+2=-

1

3

x ²+

2 3

3

x+1；

（3）將直線(xiàn)PQ的解析式：y=

3

3

x，以及拋物線(xiàn)AMC的解析式：y=-

1

3

（x-

3

） ²+2=-

1

3

x ²+

2 3

3

x+1聯(lián)立：

3

3

x=-

1

3

x ²+

2 3

3

x+1，
整理得出：x ²-

3

x-3=0，
解得：x₁=

3 + 15

2

，x₂=

3 - 15

2

，
故C點(diǎn)橫坐標(biāo)為：

3 + 15

2

，B點(diǎn)橫坐標(biāo)為：

3 - 15

2

，
∴|x_C-x_B|=

3 + 15

2

-

3 - 15

2

=

15

（m）；

（4）過(guò)點(diǎn)B作BH⊥CD于點(diǎn)H，
∵斜坡PQ的坡度i=1：

3

，
∴tan∠CBH=

1

3

=

3

3

，
∴∠CBH=30°，
∵|x_C-x_B|=BH=

15

，
∴BC=

BH

cos30°

=

15

3 2

=2

5

（m）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及坡度問(wèn)題和解直角三角形的應(yīng)用等知識(shí)，正確構(gòu)造出直角三角形是解題關(guān)鍵．