Question

如圖，已知⊙O為△ABC的外接圓，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，P為BC的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)P出發(fā)，沿射線PC方向以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，以P為圓心，PQ長(zhǎng)為半徑作圓．設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t s．
（1）試說(shuō)明圓心O的位置．
（2）當(dāng)t=1.2時(shí)，判斷直線AB與⊙P的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）若⊙P與⊙O相切，求t的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及圓周角定理得出圓心O的位置為線段AB的中點(diǎn)；
（2）首先根據(jù)勾股定理得出AB的長(zhǎng)，再利用△PBD∽△ABC，得出

PD

AC

=

PB

AB

，求出PD的長(zhǎng)；即圓心P到直線AB的距離等于⊙P的半徑，得出答案即可；
（3）根據(jù)點(diǎn)P在⊙O內(nèi)部，得出⊙P與⊙O只能內(nèi)切，進(jìn)而利用半徑與圓心距之間的關(guān)系求出即可．

解答：解：（1）如圖1，∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB是△ABC外接圓直徑，
∴圓心O的位置為線段AB的中點(diǎn)．

（2）直線AB與⊙P相切．
如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB，垂足為D．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°
∵AC=6cm，BC=8cm 
∴AB=

AC2+BC2

=10（cm），
∵P為BC的中點(diǎn)
∴PB=4cm．
∵∠PDB=∠ACB=90°，∠PBD=∠ABC
∴△PBD∽△ABC．
∴

PD

AC

=

PB

AB

，即

PD

6

=

4

10

∴PD=2.4（cm）．
當(dāng)t=1.2時(shí)，PQ=2t=2.4（cm）
∴PD=PQ，即圓心P到直線AB的距離等于⊙P的半徑．
∴直線AB與⊙P相切．

（3）∵∠ACB=90°，
∴AB為△ABC的外切圓的直徑．
∴OB=

1

2

AB=5（cm）．
如圖3，連接OP，
∵P為BC的中點(diǎn)，O為BA的中點(diǎn)，
∴OP=

1

2

AC=3（cm）．
∵點(diǎn)P在⊙O內(nèi)部，
∴⊙P與⊙O只能內(nèi)切．
∴5-2t=3或2t-5=3，
∴t=1或4．
∴⊙P與⊙O相切時(shí)，t的值為1或4．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相切兩圓的性質(zhì)以及切線的判定和圓周角定理等知識(shí)，利用圖形分類(lèi)討論得出是解題關(guān)鍵．