Question

將拋物線y=-x²平移，平移后的拋物線與x軸交于點A（-1，0）和點B（3，0），與y軸交于點C，頂點為D，
（1）求平移后的拋物線的表達式和點D的坐標(biāo)；
（2）∠ACB與∠ABD是否相等？請證明你的結(jié)論；
（3）點P在平移后的拋物線的對稱軸上，且△CDP與△ABC相似，求P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)平移不改變二次項系數(shù)a的值，且平移后的拋物線與x軸交于點A（-1，0）和點B（3，0），可知平移后的拋物線的表達式為y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3，再運用配方法化為頂點式，即可求出頂點D的坐標(biāo)；
（2）先由B、C兩點的坐標(biāo)，得出∠OBC=∠OCB=45°，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°，則由正切函數(shù)的定義求出tan∠CBD=，在△AOC中，由正切函數(shù)的定義也求出tan∠ACO=，得出∠ACO=∠CBD，則∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC，即∠ACB=∠ABD；
（3）設(shè)P點的坐標(biāo)為（1，n），先由相似三角形的形狀相同，得出△CDP是銳角三角形，則n＜4，再根據(jù)∠CDP=∠ABC=45°，得到D與B是對應(yīng)點，所以分兩種情況進行討論：①△CDP∽△ABC；
②△CDP∽△CBA．根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等列出關(guān)于n的方程，解方程即可．
解答：解：（1）∵將拋物線y=-x²平移，平移后的拋物線與x軸交于點A（-1，0）和點B（3，0），
∴平移后的拋物線的表達式為y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3，即y=-x²+2x+3，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點D的坐標(biāo)為（1，4）；

（2）∠ACB與∠ABD相等，理由如下：
如圖，∵y=-x²+2x+3，
∴點x=0時，y=3，即C點坐標(biāo)為（0，3），
又∵B（3，0），∠BOC=90°，
∴OB=OC，∠OBC=∠OCB=45°．
在△BCD中，∵BC²=3²+3²=18，CD²=1²+1²=2，BD²=2²+4²=20，
∴BC²+CD²=BD²，
∴∠BCD=90°，
∴tan∠CBD===，
∵在△AOC中，∠AOC=90°，
∴tan∠ACO==，
∴tan∠ACO=tan∠CBD，
∴∠ACO=∠CBD，
∴∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC，
即∠ACB=∠ABD；

 （3）∵點P在平移后的拋物線的對稱軸上，而y=-x²+2x+3的對稱軸為x=1，
∴可設(shè)P點的坐標(biāo)為（1，n）．
∵△ABC是銳角三角形，
∴當(dāng)△CDP與△ABC相似時，△CDP也是銳角三角形，
∴n＜4，即點P只能在點D的下方，
又∵∠CDP=∠ABC=45°，
∴D與B是對應(yīng)點，分兩種情況：
①如果△CDP∽△ABC，那么=，
即=，解得n=，
∴P點的坐標(biāo)為（1，）；
②如果△CDP∽△CBA，那么=，
即=，解得n=，
∴P點的坐標(biāo)為（1，）．
綜上可知P點的坐標(biāo)為（1，）或（1，）．
點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的平移規(guī)律，對稱軸、頂點坐標(biāo)的求法，勾股定理及其逆定理，銳角三角函數(shù)的定義，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強，難度適中．兩個三角形相似沒有明確對應(yīng)頂點時要注意分析題意分情況討論結(jié)果．