Question

在直角坐標系中，點A是拋物線y＝x2在第二象限上的點，連接OA，過點O作OB⊥OA，交拋物線于點B，以OA、OB為邊構造矩形AOBC．

(1)如圖1，當點A的橫坐標為�。�1 　時，矩形AOBC是正方形；

(2)如圖2，當點A的橫坐標為 時，

①求點B的坐標；

②將拋物線y＝x2作關于x軸的軸對稱變換得到拋物線y＝－x2，試判斷拋物線y＝－x2經(jīng)過平移交換后，能否經(jīng)過A，B，C三點？如果可以，說出變換的過程；如果不可以，請說明理由．

Answer 1

考點：　 二次函數(shù)綜合題。

專題：　 代數(shù)幾何綜合題。www. xkb1.com

分析：　 (1)過點A作AD⊥x軸于點D，根據(jù)正方形的對角線平分一組對角可得∠AOC＝45°，所以∠AOD＝45°，從而得到△AOD是等腰直角三角形，設點A坐標為(－a，a)，然后利用點A在拋物線上，把點的坐標代入解析式計算即可得解；

(2)①過點A作AE⊥x軸于點E，過點B作BF⊥x軸于點F，先利用拋物線解析式求出AE的長度，然后證明△AEO和△OFB相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求出OF與BF的關系，然后利用點B在拋物線上，設出點B的坐標代入拋物線解析式計算即可得解；

②過點C作CG⊥BF于點G，可以證明△AEO和△BGC全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CG＝OE，BG＝AE，然后求出點C的坐標，再根據(jù)對稱變換以及平移變換不改變拋物線的形狀利用待定系數(shù)法求出過點A、B的拋物線解析式，把點C的坐標代入所求解析式進行驗證變換后的解析式是否經(jīng)過點C，如果經(jīng)過點C，把拋物線解析式轉化為頂點式解析式，根據(jù)頂點坐標寫出變換過程即可．

解答：　 解：(1)如圖，過點A作AD⊥x軸于點D，

∵矩形AOBC是正方形，

∴∠AOC＝45°，

∴∠AOD＝90°－45°＝45°，

∴△AOD是等腰直角三角形，

設點A的坐標為(－a，a)(a≠0)，

則(－a)2＝a，

解得a1＝－1，a2＝0(舍去)，

∴點A的坐標－a＝－1，

故答案為：－1；

(2)①過點A作AE⊥x軸于點E，過點B作BF⊥x軸于點F，

當x＝－ 時，y＝(－ )2＝ ，

即OE＝ ，AE＝ ，

∵∠AOE＋∠BOF＝180°－90°＝90°，

∠AOE＋∠EAO＝90°，

∴∠EAO＝∠BOF，

又∵∠AEO＝∠BFO＝90°，

∴△AEO∽△OFB，

∴ ＝ ＝ ＝ ，

設OF＝t，則BF＝2t，

∴t2＝2t，

解得：t1＝0(舍去)，t2＝2，

∴點B(2，4)；

②過點C作CG⊥BF于點G，

∵∠AOE＋∠EAO＝90°，∠FBO＋∠CBG＝90°，∠AEO＝∠FBO，

∴∠EAO＝∠CBG，

在△AEO和△BGC中， ，

∴△AEO≌△BGC(AAS)，

∴CG＝OE＝ ，BG＝AE＝ ．

∴xc＝2－ ＝ ，yc＝4＋ ＝ ，

∴點C( ， )，

設過A(－ ， )、B(2，4)兩點的拋物線解析式為y＝－x2＋bx＋c，由題意得， ，

解得 ，

∴經(jīng)過A、B兩點的拋物線解析式為y＝－x2＋3x＋2，

當x＝ 時，y＝－( )2＋3× ＋2＝ ，所以點C也在此拋物線上，

故經(jīng)過A、B、C三點的拋物線解析式為y＝－x2＋3x＋2＝－(x－ )2＋ ．

平移方案：先將拋物線y＝－x2向右平移 個單位，再向上平移 個單位得到拋物線y＝－(x－ )2＋ ．

點評：　 本題是對二次函數(shù)的綜合考查，包括正方形的性質，相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，待定系數(shù)法求拋物線解析式，綜合性較強，難度較大，要注意利用點的對稱、平移變換來解釋拋物線的對稱平移變換，利用點研究線也是常 用的方法之一．