Question

如圖，已知直線y=

3

4

x+3與雙曲線y=

k

x

相交于A、B兩點，與x軸，y軸分別相交于D、C兩點，若CD=3，則k=

-

48

25

．

Answer 1

分析：聯(lián)立兩函數(shù)解析式，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和與兩根之積，利用勾股定理列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．

解答：解：過D作DF⊥x軸，CE⊥y軸，兩垂線交于M點，如圖所示，
聯(lián)立兩函數(shù)解析式得：

y= 3 4 x+3 y= k x

，
消去y得：3x²+12x-4k=0，
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則有y₁-y₂=

3

4

（x₁-x₂），
∴x₁+x₂=-4，x₁x₂=-

4k

3

，
在Rt△CDM中，根據(jù)勾股定理得：CD²=CM²+DM²，
即9=（y₁-y₂）²+（x₁-x₂）²=

25

16

（x₁-x₂）²=

25

16

[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=

25

16

×（16+

16k

3

）=25+

25

3

k，
解得：k=-

48

25

．
故答案為：-

48

25

點評：此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，涉及的知識有：坐標與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法求反比例解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．