Question

16．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，A（-4，0），B（0，4），過(guò)x軸正半軸上的點(diǎn)C作y軸的平行線(xiàn)，交直線(xiàn)AB于點(diǎn)D，P為直線(xiàn)CD上任意一點(diǎn)．作直線(xiàn)OP交直線(xiàn)AB于點(diǎn)Q，連接CQ．
（1）若tan∠POC=3，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（2，6）；
（2）當(dāng)△CPQ是腰底之比為1：$\sqrt{3}$等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（4$\sqrt{3}$+4，4$\sqrt{3}$+12）或（4$\sqrt{3}$-4，4$\sqrt{3}$-12）．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)已知條件求得直線(xiàn)OP與AB的解析式，再解方程組，求得交點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可；
（2）分情況討論：當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，若△CPQ是腰底之比為1：$\sqrt{3}$的等腰三角形，可得∠QPC=∠QCP=30°，∠OQC=60°；當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，若△CPQ是腰底之比為1：$\sqrt{3}$的等腰三角形，可得∠CQP=∠CPQ=30°，∠POC=60°=∠AOQ，分別過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥x軸于H，根據(jù)△AQH是等腰直角三角形，列方程求解即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）根據(jù)tan∠POC=3，可得$\frac{PC}{OC}$=3，
∴直線(xiàn)OP的解析式為y=3x，
根據(jù)A（-4，0），B（0，4），可得
直線(xiàn)AB的解析式為y=x+4，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=3x}\\{y=x+4}\end{array}\right.$，
可得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=6}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（2，6）；
（2）①如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，若△CPQ是腰底之比為1：$\sqrt{3}$的等腰三角形，則
∠QPC=∠QCP=30°，∠OQC=60°，
∵∠PCO=90°，
∴∠QOC=60°，
∴△OCQ是等邊三角形，
過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥OC于 H，則OH=$\frac{1}{2}$OC，QH=$\sqrt{3}$OH，
設(shè)OC=x，則OH=$\frac{1}{2}$x，QH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∵∠BAO=45°=∠AQH，
∴AH=QH，即4+$\frac{1}{2}$x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
解得x=4$\sqrt{3}$+4，
∴OC=4$\sqrt{3}$+4，CP=$\sqrt{3}$OC=4$\sqrt{3}$+12，
即P（4$\sqrt{3}$+4，4$\sqrt{3}$+12）；
②如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，若△CPQ是腰底之比為1：$\sqrt{3}$的等腰三角形，則
∠CQP=∠CPQ=30°，∠POC=60°=∠AOQ，
∴∠QCO=60°-30°=30°，
∴∠CQP=∠QCO=30°，
∴QO=CO，
過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AO于H，則∠HQO=30°，
∴HO=$\frac{1}{2}$QO=$\frac{1}{2}$OC，QH=$\sqrt{3}$HO，
設(shè)OC=x，則OH=$\frac{1}{2}$x，HQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，AH=AO-HO=4-$\frac{1}{2}$x，
∵∠BAO=45°=∠AQH，
∴AH=QH，即4-$\frac{1}{2}$x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
解得x=4$\sqrt{3}$-4，
∴OC=4$\sqrt{3}$-4，CP=$\sqrt{3}$OC=12-4$\sqrt{3}$，
即P（4$\sqrt{3}$-4，4$\sqrt{3}$-12）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)問(wèn)題，等腰三角形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是由這兩條直線(xiàn)相對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式所組成的二元一次方程組的解．解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線(xiàn)構(gòu)造等腰直角三角形，解題時(shí)注意分類(lèi)思想和方程思想的運(yùn)用．