Question

如圖，已知：⊙O的直徑AB與弦AC的夾角∠A=30°，過點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長線于點(diǎn)P．
（1）求證：AC=CP；
（2）⊙O的直徑是6，以點(diǎn)B為圓心作圓，當(dāng)半徑為多長時(shí)，AC與⊙B相切？
（3）若PC=6，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果精確到0.1，

3

=1.732）

Answer 1

分析：（1）連接OC．根據(jù)圓周角定理即可求得∠COP=2∠ACO=60°，根據(jù)切線的性質(zhì)定理以及直角三角形的兩個(gè)銳角互余，求得∠P=30°，即可證明；
（2）如圖連接BC．由圓周角定理知AC⊥BC，然后根據(jù)“AC與⊙B相切”知BC即為⊙B的半徑．
（3）陰影部分的面積即為直角三角形OCP的面積減去扇形OCB的面積．

解答：（1）證明：如圖，連接OC．
∵AO=OC，
∴∠ACO=∠A=30°．
∴∠COP=2∠ACO=60°．
∵PC切⊙O于點(diǎn)C，
∴OC⊥PC．即∠OCP=90°，
∴∠P=30°．
∴∠A=∠P．
∴AC=PC．

（2）解：如圖，連接BC．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，即AC⊥BC．
又∵AC與⊙B相切，
∴BC即為⊙B的半徑．
在直角△ACB中，∠A=30°，AB=6，則BC=

1

2

AB=3；

（3）解：∵在Rt△OCP中，∠P=30°，
∴tan∠P=

OC

PC

=

3

3

，
∴OC=2

3

．
∵S_△OCP=

1

2

CP•OC=

1

2

×6×2

3

=6

3

且S_扇形COB=2π，
∴S_陰影=S_△OCP-S_扇形COB=6

3

-2π≈4.1．

點(diǎn)評：綜合運(yùn)用了切線的性質(zhì)定理、圓周角定理以及扇形的面積公式．求（3）中的陰影部分的面積時(shí)采用了“分割法”．