Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABOC的邊BO在x軸正半軸上，邊CO在y軸的正半軸上，且AB=2，∠AOB=30°，將矩形ABOC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到矩形EFOD，且點(diǎn)A落在y軸上的E點(diǎn)，點(diǎn)B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)F，D．
（1）求F，E，D的三點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)F，E，D，求此拋物線的解析式；
（3）在x上方的拋物線上求點(diǎn)P的坐標(biāo)，使得三角形POB的面積等于矩形ABOC的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)解直角三角形求出AO、BO的長度，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可得OE、OD、OF的長度，根據(jù)OE的長度可得點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)OD的長度，過點(diǎn)D作DM⊥x軸于點(diǎn)M，利用解直角三角形求出OM、DM的長度，然后得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)OF的長度，過點(diǎn)F作FN⊥x軸于點(diǎn)N，利用解直角三角形求出ON、FN的長度，從而得到點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)點(diǎn)F、E、D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（3）根據(jù)OB是公共底邊且面積相等，可得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是4，然后代入二次函數(shù)解析求解即可．

解答：解：（1）如圖1，過點(diǎn)D作DM⊥x軸，過點(diǎn)F作FN⊥x軸，
∵AB=2，∠AOB=30°，
∴AO=2AB=4，OB=AB•cot30°=2

3

，
由旋轉(zhuǎn)不變性可得，EO=AO=4，OD=AB=2，OF=OB，
所以E的坐標(biāo)為（0，4），
∵∠AOB=30°，
∴∠AOC=90°-∠AOB=90°-30°=60°，
∴∠DOE=∠AOC=60°，
∴∠DOM=90°-∠DOE=90°-60°=30°，
在Rt△DOM中，DM=

1

2

OD=

1

2

×2=1，OM=OD•cos∠DOM=2×cos30°=

3

，
所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-

3

，1），
由圖可知，旋轉(zhuǎn)角為60°，所以∠FON=60°，
所以，ON=OF•cos60°=2

3

×

1

2

=

3

，
FN=OF•sin60°=2

3

×

3

2

=3，
所以F的坐標(biāo)為（

3

，3）；

（2）由題意得：

c=4 3a+ 3 b+c=3 3a- 3 b+c=1

，
解得

a=- 2 3 b= 3 3 c=4

，
所以，拋物線的解析式為y=-

2

3

x²+

3

3

x+4；

（3）如圖2，因?yàn)椤鱌OB與矩形ABOC有公共的底邊OB，
且面積相等，所以y_p=2y_c=4，
由-

2

3

x²+

3

3

x+4=4，
整理得，2x²-

3

x=0，
解得x₁=0或x₂=

3

2

，
所以P的坐標(biāo)是（0，4）或（

3

2

，4）．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)二次函數(shù)的綜合考查，主要有矩形的性質(zhì)，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，解直角三角形，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，要注意旋轉(zhuǎn)變換前后線段的不變以及角度的不變性．