Question

如圖，直線OC、BC的函數(shù)關(guān)系式分別是：y₁=x和y₂=-2x+6，動點P（x，0）在OB上運動（0＜x＜3）
（1）求點C的坐標(biāo)，并回答當(dāng)x取何值時y₁＞y₂？
（2）求△COB的面積；
（3）是否存在點P，使CP將△COB分成的兩部分面積之比為1：2？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)直線OC、BC的函數(shù)關(guān)系式分別是y₁=x和y₂=-2x+6，列出方程組

y=x y=-2x+6

，求得兩直線的交點坐標(biāo)．
（2）先作CD⊥x軸于點D，求出D點的坐標(biāo)，再根據(jù)直線y₂=-2x+6與x軸交于B點，求出點B的坐標(biāo)，即可得出S_△BOC；
（3）根據(jù)CP將△COB分成的兩部分面積之比為1：2，分兩種情況得出①S_△COP=

1

3

S_△BOC，再求出^_△COD的面積，得出OP=1，即可得出P點的坐標(biāo)；②S_△COP=

2

3

S_△BOC，求出△COD的面積，得出OP=2，即可得出P點的坐標(biāo)；

解答：解：（1）解方程組

y=x y=-2x+6

，
解得

x=2 y=2

，
∴C點坐標(biāo)為（2，2）；
∴當(dāng)x＞2時，y₁＞y₂；

（2）如上圖，作CD⊥x軸于點D，則D（2，0），
∵直線y₂=-2x+6與x軸交于B點，
∴B（3，0），
∴S_△BOC=

1

2

OB•CD=

1

2

×3×2=3

（3）∵CP將△COB分成的兩部分面積之比為1：2，
∴①S_△COP=

1

3

S_△BOC
=

1

3

×3=1，
∴

1

2

OP•CD=

1

2

×OP•2=1，
∴OP=1，
∴P點的坐標(biāo)（1，0）；
②S_△COP=

2

3

S_△BOC
=

2

3

×3=2，
∴

1

2

OP•CD=

1

2

×OP•2=2，
∴OP=2，
∴P點的坐標(biāo)（2，0）；

點評：此題主要考查平面直角坐標(biāo)系中圖形的面積的求法．解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)一次函數(shù)的特點，分別求出各點的坐標(biāo)再計算．本題是函數(shù)與三角形相結(jié)合的問題，在圖形中滲透運動的觀點是中考中經(jīng)常出現(xiàn)的問題．