Question

如圖，直線OC、BC的函數(shù)關(guān)系式分別為y=x和y=-2x+6，動(dòng)點(diǎn)P（x，0）在OB上移動(dòng)（0＜x＜3），過點(diǎn)P作直線l與x軸垂直．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)△OBC中位于直線l左側(cè)部分的面積為s，寫出s與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在直角坐標(biāo)系中畫出（2）中函數(shù)的圖象；
（4）當(dāng)x為何值時(shí)，直線l平分△OBC的面積？

Answer 1

分析：（1）解兩個(gè)函數(shù)解析式組成的方程組，就可以求出交點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）本題應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)直線l在C點(diǎn)的左側(cè)和右側(cè)兩種情況．
（4）根據(jù)（3）中的函數(shù)解析式，就可以得到方程，解方程就可以解決．

解答：解：（1）解方程組

y=x y=-2x+6

，
消去y得：-2x+6=x，解得x=2，
把x=2代入y=x得：y=2，
所以

x=2 y=2

，
則C點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，2）．

（2）過點(diǎn)C作CD⊥x軸于D，
當(dāng)0＜x≤2時(shí)，設(shè)直線l與OC交于點(diǎn)M，
則

PM

CD

=

OP

OD

，即

PM

2

=

x

2

，
則PM=x，
則S=

1

2

OP•PM=

1

2

x²；
當(dāng)2＜x＜3時(shí)，△ODC的面積是

1

2

×2×2=2，
∵OP=x，OD=2，則PD=x-2，CD=2，PN=-2x+6，
則梯形PNCD的面積為

1

2

×（-2x+6+2）×（x-2）=（-x+4）（x-2），
因而函數(shù)解析式是s=2+（-x+4）（x-2）=-x²+6x-6；

（4）當(dāng)0＜x≤2時(shí)，解方程

1

2

x²=

3

2

，解得x=

3

，
當(dāng)2＜x＜3時(shí)，（3-x）²=

3

2

，
解得x=

6- 6

2

（舍去），x=

6+ 6

2

（舍去）．
總之，當(dāng)x=

3

時(shí)，直線l平分△OBC的面積．

點(diǎn)評(píng)：本題是函數(shù)與三角形相結(jié)合的問題，在圖形中滲透運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)是中考中經(jīng)常出現(xiàn)的問題．