Question

如圖，若△ABC和△ADE為等邊三角形，M，N分別EB，CD的中點，易證：CD=BE，△AMN是等邊三角形。

（1）當把△ADE繞A點旋轉到圖2的位置時，CD=BE是否仍然成立？若成立請證明，若不成立請說明理由；
（2）當△ADE繞A點旋轉到圖3的位置時，△AMN是否還是等邊三角形？若是，請給出證明，并求出當AB=2AD時，△ADE與△ABC及△AMN的面積之比；若不是，請說明理由。

Answer 1

解：（1）CD=BE；理由如下 ∵△ABC和△ADE為等邊三角形， ∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°， ∵∠BAE=∠BAC-∠EAC=60°-∠EAC， ∠DAC=∠DAE-∠EAC=60°-∠EAC， ∴∠BAE=∠DAC， ∴△ABE≌△ACD， ∴CD=BE； （2）△AMN是等邊三角形；理由如下： ∵△ABE≌△ACD， ∴∠ABE=∠ACD， ∵M、N分別是BE、CD的中點， ∴BM=， ∵AB=AC，∠ABE=∠ACD， ∴△ABM≌△ACN， ∴AM=AN，∠MAB=∠NAC， ∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°， ∴△AMN是等邊三角形， 設AD=a，則AB=2a， ∵AD=AE=DE，AB=AC， ∴CE=DE， ∵△ADE為等邊三角形， ∴∠DEC=120°，∠ADE=60°， ∴∠EDC=∠ECD=30°， ∴∠ADC=90°， ∴在Rt△ADC中，AD=a，∠ACD=30°， ∴CD=， ∵N為DC中點， ∴， ∴， ∵△ADE，△ABC，△AMN為等邊三角形， ∴S△ADE∶S△ABC∶S△AMN=。