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        1. △ABC中,BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,CF交BE于G.
          (1)如圖1,若AB=AC=BC=2,求S△ABC•S△GBC
          (2)如圖2,若AB=AC,BC=2,猜想S△ABC•S△GBC的值會(huì)等于(1)中值嗎?說(shuō)明理由.
          (3)如圖3,若D為BC上一點(diǎn),BD=m,CD=n,猜想S△ABC•S△GBC的值會(huì)隨著A點(diǎn)的上下移動(dòng)而變化嗎?說(shuō)明理由.
          精英家教網(wǎng)
          分析:(1)根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和勾股定理求出BE,根據(jù)三角形的中位線求出BG=2EG,根據(jù)等底等高的三角形面積求出△GBC即可;
          (2)根據(jù)三角形的面積公式求出面積,證△GDC∽△CDA,求出AD•DG即可;
          (3)證△ADB和△CDG相似,求出AD•CD即可.
          解答:解:(1)∵AB=BC=AC=2,BE⊥AC,
          ∴AE=CE=1,
          由勾股定理得:BE=
          AB2-AE2
          =
          3
          ,
          ∴S△ABC=
          1
          2
          AC×BE=
          1
          2
          ×2×
          3
          =
          3
          ,
          ∴S△BEC=
          1
          2
          S△ABC=
          3
          2
          ,
          連接EF,
          ∵AE=CE,AF=BF,
          ∴EF∥BC,EF=
          1
          2
          BC,
          EG
          BG
          =
          1
          2

          ∴S△BCG=
          2
          3
          S△BEC=
          3
          3
          ,
          ∴S△ABC•S△GBC=1.

          (2)還等于1,
          理由是:作直線AG交BC于D,
          則AD⊥BC,
          由三角形的面積公式得:S△ABC•S△GCB=
          1
          2
          BC×AD•
          1
          2
          BC•DG=AD•DG,
          ∵AD⊥BC,CF⊥AB,
          ∴∠AFC=△ADC=90°,
          ∴A F D C四點(diǎn)共圓,
          ∴∠BAD=∠GCB,
          ∵∠ADC=∠ADC=90°,
          ∴△GDC∽△CDA,
          CD
          AD
          =
          DG
          CD
          ,
          ∴AD•DG=CD2=12=1,
          ∴S△ABC•S△GBC=1.

          (3)不發(fā)生變化,等于
          1
          4
          (m+n)mm,
          由(2)可知S△ABC•S△GBC=
          1
          2
          BC×AD×
          1
          2
          BC×GD=
          1
          4
          (m+n)AD•GD,
          由(2)可知∠ADB=∠ADC=90°,∠BAD=∠GCD,
          ∴△ADB∽△CDG,
          AD
          DC
          =
          BD
          DG
          ,
          ∴AD•DG=DC•BD=mn,
          ∴S△ABC•S△GBC=
          1
          4
          (m+n)mn.
          不管A怎樣變換,兩三角形的面積的積不變,永遠(yuǎn)等于
          1
          4
          (m+n)mm
          點(diǎn)評(píng):本題主要考查對(duì)等腰三角形的性質(zhì),三角形的中位線,相似三角形的性質(zhì)和判定,等邊三角形的性質(zhì),勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握,能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          在△ABC中,BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E,ED∥CB交AB于點(diǎn)D,已知:AD=1,DE=2,則BC的長(zhǎng)為(  )
          A、3B、4C、5D、6

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          精英家教網(wǎng)已知:如圖,在△ABC中,BE、CF分別是AC、AB兩條邊上的高,在BE上截取BD=AC,在CF的延長(zhǎng)線上截取CG=AB,連AD、AG.求證:AG=AD.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          精英家教網(wǎng)知識(shí)鏈接:三角形三個(gè)內(nèi)角的和是180度.(如圖∠A是△ABC的一個(gè)內(nèi)角)如圖:△ABC中,BE、CF分別是∠ABC和∠ACB的平分線,BE、CF相交于點(diǎn)O.
          (1)如果∠A=40度,求∠BOC的度數(shù);
          (2)如果∠A=50度,直接寫(xiě)出∠BOC的度數(shù);
          (3)探求∠A和∠BOC的關(guān)系(用等式表示),并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2013•徐匯區(qū)一模)如圖,在△ABC中,BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作ED∥BC交AB于點(diǎn)D.
          (1)求證:AE•BC=BD•AC;                  
          (2)如果S△ADE=3,S△BDE=2,DE=6,求BC的長(zhǎng).

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          如圖1,在△ABC中,BE、CF分別是AC、AB兩邊上的高,D在BE上,且BD=AC,G在CF的延長(zhǎng)線上且取CG=AB,連接AD,AG.  
          (1)求證:△ABD≌△GCA;
          (2)如圖2,若條件不變,連接GD,那么△ADG的形狀是
          等腰直角三角形
          等腰直角三角形
          .(只填結(jié)論即可)

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