Question

8．如圖，點A、B分別在反比例函數(shù)y=$\frac{1}{x}$（x＞0）、y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上，且∠AOB=90°，∠B=30°，求y=$\frac{k}{x}$的表達式．

Answer 1

分析 過A作AC垂直于y軸，過B作BD垂直于y軸，易證△AOC∽△OBD，利用反比例函數(shù)k的幾何意義求出兩三角形的面積，得出面積比，在直角三角形AOB中，利用銳角三角函數(shù)定義即可求出tan∠B的值，即OA與OB的比值，利用面積比等于相似比的平方，即可求出k值．

解答 解：過A作AC⊥y軸，過B作BD⊥y軸，可得∠ACO=∠BDO=90°，
∴∠AOC+∠OAC=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
∴△AOC∽△OBD，
∵點A、B分別在反比例函數(shù)y=$\frac{1}{x}$（x＞0），y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$，S_△OBD=|$\frac{k}{2}$|，
∴S_△AOC：S_△OBD=1：|k|，
∴（$\frac{OA}{OB}$）²=1：|k|，
則在Rt△AOB中，tanB=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴1：|k|=1：3，
∴|k|=3
∵y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象在第四象限，
∴k=-3，
∴y=$\frac{k}{x}$的表達式為：y=-$\frac{3}{x}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質，銳角三角函數(shù)定義，以及反比例函數(shù)k的幾何意義，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．