Question

如圖，已知第一象限內(nèi)的點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=的圖象上，第二象限內(nèi)的點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=的圖象上，且OA⊥OB，cosA=，則k的值為（ ）
A．-3
B．-4
C．-
D．-2

Answer 1

【答案】分析：過(guò)A作AE⊥x軸，過(guò)B作BF⊥x軸，由OA與OB垂直，再利用鄰補(bǔ)角定義得到一對(duì)角互余，再由直角三角形BOF中的兩銳角互余，利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，又一對(duì)直角相等，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似得到三角形BOF與三角形OEA相似，在直角三角形AOB中，由銳角三角函數(shù)定義，根據(jù)cos∠BAO的值，設(shè)出AB與OA，利用勾股定理表示出OB，求出OB與OA的比值，即為相似比，根據(jù)面積之比等于相似比的平方，求出兩三角形面積之比，由A在反比例函數(shù)y=上，利用反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義求出三角形AOE的面積，進(jìn)而確定出BOF的面積，再利用k的集合意義即可求出k的值．
解答：解：過(guò)A作AE⊥x軸，過(guò)B作BF⊥x軸，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∴∠BOF+∠EOA=90°，
∵∠BOF+∠FBO=90°，
∴∠EOA=∠FBO，
∵∠BFO=∠OEA=90°，
∴△BFO∽△OEA，
在Rt△AOB中，cos∠BAO==，
設(shè)AB=，則OA=1，根據(jù)勾股定理得：BO=，
∴OB：OA=：1，
∴S_△BFO：S_△OEA=2：1，
∵A在反比例函數(shù)y=上，
∴S_△OEA=1，
∴S_△BFO=2，
則k=-4．
故選B
點(diǎn)評(píng)：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，以及反比例函數(shù)k的幾何意義，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．