Question

【題目】如圖，在Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝6cm，在矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝6cm，點C和點M重合，點B，C(M)，N在同一直線上若Rt△PMN不動，矩形ABCD沿MN所在直線以每秒1cm的速度向右移動，至點C與點N重合為止，設移動x秒后，矩形ABCD與△PMN重疊部分的面積為ycm2，則y與x的大致圖象是( )

A. B.

C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

在Rt△PMN中解題，要充分運用好垂直關系和45度角，因為此題也是點的移動問題，可知矩形ABCD以每秒1cm的速度由開始向右移動到停止，和Rt△PMN重疊部分的形狀可分為下列三種情況，(1)0≤x≤2；(2)2＜x≤4；(3)4＜x≤6；根據(jù)重疊圖形確定面積的求法，作出判斷即可．

∵∠P＝90°，PM＝PN，

∴∠PMN＝∠PNM＝45°，

由題意得：CM＝x，

分三種情況：

①當0≤x≤2時，如圖1，邊CD與PM交于點E，

∵∠PMN＝45°，

∴△MEC是等腰直角三角形，

此時矩形ABCD與△PMN重疊部分是△EMC，

∴y＝S△EMC＝CMCE＝x2；

故選項A和B不正確；

②如圖2，當D在邊PN上時，過P作PF⊥MN于F，交AD于G，

∵∠N＝45°，CD＝2，

∴CN＝CD＝2，

∴CM＝6﹣2＝4，

即此時x＝4，

當2＜x≤4時，如圖3，矩形ABCD與△PMN重疊部分是四邊形EMCD，

過E作EF⊥MN于F，

∴EF＝MF＝2，

∴ED＝CF＝x﹣2，

∴y＝S梯形EMCD＝CD(DE+CM)＝×2×(x﹣2+x)＝2x﹣2；

③當4＜x≤6時，如圖4，矩形ABCD與△PMN重疊部分是五邊形EMCGF，過E作EH⊥MN于H，

∴EH＝MH＝2，DE＝CH＝x﹣2，

∵MN＝6，CM＝x，

∴CG＝CN＝6﹣x，

∴DF＝DG＝2﹣(6﹣x)＝x﹣4，

∴y＝S梯形EMCD﹣S△FDG＝CD(DE+CM)﹣DG2＝×2×(x﹣2+x)﹣(x﹣4)2＝﹣x2+6x﹣10，

故選項D正確；

故選D．