Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=Rt∠，∠B=45°小宇用一塊三角板EGF，使直角邊EG與CD重合，點(diǎn)G與點(diǎn)C重合，直角邊EG沿著CB從點(diǎn)C往點(diǎn)B平移，當(dāng)點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，平移就結(jié)束．設(shè)CG的長(zhǎng)度為xcm，梯形ABCD被直角邊EG掃過(guò)的面積為ycm²，y與x的圖象如圖2所示，其中OP是線段，曲線PQ是拋物線的一部分，拋物線的頂點(diǎn)是Q（7，

33

2

）．
（1）直接寫出BC、AD、CD的長(zhǎng)度；
（2）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的范圍；
（3）探究：三角板直角邊EG在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)G，使得以A、D、G為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？如果存在，求出x的值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，面積開始不是均勻變化，那么AD=CG=4，根據(jù)面積為12可得CD為3，等于7時(shí)結(jié)束，那么BC=7；
（2）當(dāng)x≤4時(shí)，可設(shè)函數(shù)解析式為y=kx，把（4，12）代入即可求解，當(dāng)4＜x≤7時(shí)，利用頂點(diǎn)式即可求得相應(yīng)函數(shù)解析式；
（3）A、D、G為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形時(shí)應(yīng)分情況進(jìn)行探討．當(dāng)AD=DG時(shí)，有1種情況，當(dāng)AG=AD時(shí)，有2種情況，當(dāng)AG=DG時(shí)，有一種情況．

解答：解：（1）易得四邊形AG′CD為矩形，
∴AD=G′C=4，
∴CD=12÷4=3，
當(dāng)x=7時(shí)，運(yùn)動(dòng)結(jié)束，
∴BC=x=7；

（2）當(dāng)0≤x≤4時(shí)，
設(shè)函數(shù)解析式為y=kx，
∴4k=12，
k=3，
∴y=3x，
當(dāng)4＜x≤7時(shí)，
設(shè)函數(shù)解析式為y=a（x-7）²+

33

2

，
∴12=9a+

33

2

，
解得a=-

1

2

，
∴y=-

1

2

（x-7）²+

33

2

，
∴

y=3x(0≤x≤4) y=- 1 2 (x-7)2+ 33 2 (4＜x≤7)

；

（3）AD=AG時(shí)，
GG′=

42-32

=

7

，
所以x=4+

7

，或者x=4-

7

．
同理可得AD=DG，點(diǎn)D為兩腰的交點(diǎn)時(shí)，
x=GG′=

7

；
當(dāng)AG=DG時(shí)，
x=

1

2

AD=2．

點(diǎn)評(píng)：拋物線上有頂點(diǎn)坐標(biāo)，所求的拋物線解析式應(yīng)設(shè)為頂點(diǎn)式求解比較簡(jiǎn)便；三角形為等腰三角形，應(yīng)分不同頂點(diǎn)為兩腰的交點(diǎn)進(jìn)行分類討論．