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        1. (2013•梅列區(qū)模擬)已知:∠DBC=∠ACB,BC=2AC,BD=BC,CD、AB交于點E.
          (1)如圖①,當∠ACB=90°時,求出線段DE、CE之間的數(shù)量關(guān)系;
          (2)如圖②,當∠ACB=120°時,求證:DE=3CE;
          (3)如圖③,在(2)的條件下,F(xiàn)是BC邊的中點,連接DF交AB于點G,若CE=2,求DF的長.
          分析:(1)由∠DBC=∠ACB=90°,利用同旁內(nèi)角互補得到DB與AC平行,由平行得到兩對內(nèi)錯角相等,進而確定出三角形DBE與三角形ACE相似,由相似得比例,根據(jù)BC=BD=2AC,求出相似比,求出DE與EC之比,即可確定出DE與CE的數(shù)量關(guān)系;
          (2)過M作BM⊥DC,交DC于點M,由三角形DBC為頂角為120°的等腰三角形,得到DM=DC=
          1
          2
          DC,∠D=∠DCB=30°,在直角三角形BDM中,利用30度角所對的直角邊等于斜邊的一半得到DB=2BM,即BC=2BM,由BC=2AC,得到BM=AC,再由一對直角相等,一對對頂角相等,利用AAS得到三角形BME與三角形ACE全等,利用全等三角形的對應邊相等得到ME=CE=
          1
          2
          MC=
          1
          4
          DC,即可得證;
          (3)延長CB,過D作DN⊥CN,過M作BM⊥DC,交DC于點M,由(2)的結(jié)論求出DE的長,進而求出DC的長,在直角三角形DCN中,利用30度角所對的直角邊等于斜邊的一半求出DN的長,在直角三角形BDN中,利用外角性質(zhì)求出∠DBN=60°,求出∠BDN=30°,利用30度角所對的直角邊等于斜邊的一半得到BC=BD=2BN,由F為BC中點,得到BF=FC=
          1
          2
          BC,確定出NB=BF=FC,即NF=BC,在直角三角形BMC中,利用勾股定理及方程思想求出BC的長,即為NF的長,在直角三角形DFN中,利用勾股定理即可求出DF的長.
          解答:解:(1)∵∠DBC=∠ACB=90°,
          ∴DB∥AC,
          ∴△BDE∽△ACE,
          DB
          AC
          =
          DE
          CE

          ∵BC=BD=2AC,
          DE
          CE
          =2,即DE=2CE;
          (2)過M作BM⊥DC,交DC于點M,
          ∵∠ACB=∠BDC=120°,BC=BD,
          ∴∠D=∠DCB=30°,
          ∴DM=CM=
          1
          2
          DC,∠ACE=120°-30°=90°,
          ∴∠BME=∠ACE=90°,
          在Rt△BDM中,∠D=30°,
          ∴BM=
          1
          2
          DB=
          1
          2
          BC,
          ∵BC=2AC,即AC=
          1
          2
          BC,
          ∴BM=AC,
          在△BME和△ACE中,
          ∠MEB=∠CEA
          ∠BME=∠ACE=90°
          BM=AC
          ,
          ∴△BME≌△ACE(AAS),
          ∴ME=CE=
          1
          2
          CM=
          1
          4
          DC,即DC=4CE,
          ∵DC=DE+EC=4EC,
          ∴DE=3EC;
          (3)延長CB,過D作DN⊥CN,過M作BM⊥DC,交DC于點M,
          由(2)得:DE=3EC=6,即DC=DE+EC=6+2=8,即CM=4,
          在Rt△DCN中,∠DCN=30°,
          ∴DN=
          1
          2
          DC=4,
          ∵∠DBN=∠BDC+∠BCD=60°,
          ∴∠BDN=30°,
          在Rt△BDN中,NB=
          1
          2
          DB=
          1
          2
          BC,
          ∵F為BC中點,
          ∴BF=
          1
          2
          BC,
          ∴BN=BF=FC,
          ∴NF=NB+BF=CF+FB=BC,
          在Rt△BCM中,設(shè)BM=x,則BC=2x,
          根據(jù)勾股定理得:x2+42=(2x)2,
          解得:x=
          4
          3
          3
          ,
          ∴NF=BC=
          8
          3
          3

          在Rt△DNF中,
          根據(jù)勾股定理得:DF=
          DN2+NF2
          =
          42+(
          8
          3
          3
          )2
          =
          16+
          64
          3
          =
          4
          21
          3
          點評:此題屬于相似形綜合題,涉及的知識有:相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),平行線的性質(zhì),勾股定理,含30度直角三角形的性質(zhì),以及等腰三角形的性質(zhì),熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
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          k
          x
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          (2013•梅列區(qū)模擬)(1)計算:(-2)3+(
          1
          3
          -2÷|1-
          3
          |
          (2)化簡求值:(
          3a
          a÷2
          -
          a
          a-2
          )÷
          2a
          a2-4
          ,其中a=-3.

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