Question

【題目】綜合與探究

數學課上，老師讓同學們利用三角形紙片進行操作活動，探究有關線段之間的關系.

問題情境：

如圖1，三角形紙片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC.將點C放在直線l上，點A，B位于直線l的同側，過點A作AD⊥l于點D.

初步探究：

(1)在圖1的直線l上取點E，使BE＝BC，得到圖2.猜想線段CE與AD的數量關系，并說明理由；

變式拓展：

(2)小穎又拿了一張三角形紙片MPN繼續(xù)進行拼圖操作，其中∠MPN＝90°，MP＝NP.小穎在圖 1 的基礎上，將三角形紙片MPN的頂點P放在直線l上，點M與點B重合，過點N作NH⊥l于點 H.

請從下面 A，B 兩題中任選一題作答，我選擇_____題.

A.如圖3，當點N與點M在直線l的異側時，探究此時線段CP，AD，NH之間的數量關系，并說明理由.

B.如圖4，當點N與點M在直線l的同側，且點P在線段CD的中點時，探究此時線段CD，AD，NH之間的數量關系，并說明理由.

Answer 1

【答案】(1)CE＝2AD；(2)A題：CP＝AD+NH；B題：NH＝CD+AD.

【解析】

(1) 過點B作BF⊥l于點F，通過已知條件證得△ACD≌△CBF，再通過等腰三角形性質即可求解.

(2) ①過點B作BF⊥l于點F，通過已知條件△ACD≌△CBF證得△BFP≌△PHN，即可得出邊邊之間關系.

②過點B作BF⊥l于點F，通過已知條件△ACD≌△CBF證得△BFP≌△PHN，再通過邊邊轉化即可求解.

(1)CE＝2AD，理由如下：

過點B作BF⊥l于點F，易得∠CFB＝90°

∵AD⊥l

∴∠ADC＝90°，∠CAD+∠DCA＝90°

∴∠ADC＝∠CFB

∵∠ACB＝90°

∴∠DCA+∠BCF＝90°

∴∠CAD＝∠BCF

在△ACD和△CBF 中

∴△ACD≌△CBF(AAS)

∴AD＝CF

∵BE＝BC，BF⊥l

∴CF＝EF

∴CE＝2CF＝2AD

(2)A.CP＝AD+NH，理由如下：

過點B作BF⊥l于點F，易得∠BFP＝90°，

由(1)可得：△ACD≌△CBF

∴AD＝CF

∵NH⊥l

∴∠PHN＝90°，∠HNP+∠HPN＝90°

∴∠BFP＝∠PHN

∵∠MPN＝90°

∴∠HPN+∠FPB＝90°

∴∠HNP＝∠FPB

在△BFP和△PHN 中

∴△BFP≌△PHN(AAS)

∴NH＝PF

∵CP＝CF+PF

∴CP＝AD+NH

B.NH＝CD+AD，理由如下：

過點B作BF⊥l于點F，易得∠BFC＝90°，

由(1)可得：△ACD≌△CBF

∴AD＝CF

∵NH⊥l

∴∠PHN＝90°，∠HNP+∠HPN＝90°

∴∠BFP＝∠PHN

∵∠MPN＝90°

∴∠HPN+∠FPB＝90°

∴∠HNP＝∠FPB

在△BFP 和△PHN中

∴△BFP≌△PHN(AAS)

∴NH＝PF

∵點P在線段CD的中點

∴CP＝DP＝CD

由圖得：PF＝PC+CF

∴NH＝CD+AD