Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)G，點(diǎn)F是CD上一點(diǎn)，且滿足=，連接AF并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E，連接AD、DE，若CF=2，AF=3．給出下列結(jié)論：
①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E=；④S_△DEF=．
其中正確的是　　（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）．

Answer 1

①②④．

試題分析：①由AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，根據(jù)垂徑定理可得：=，DG=CG，繼而證得△ADF∽△AED；
②由=，CF=2，可求得DF的長(zhǎng)，繼而求得CG=DG=4，則可求得FG=2；
③由勾股定理可求得AG的長(zhǎng)，即可求得tan∠ADF的值，繼而求得tan∠E=；
④首先求得△ADF的面積，由相似三角形面積的比等于相似比，即可求得△ADE的面積，繼而求得S_△DEF=．
①∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，
∴=，DG=CG，
∴∠ADF=∠AED，
∵∠FAD=∠DAE（公共角），
∴△ADF∽△AED；
故①正確；
②∵=，CF=2，
∴FD=6，
∴CD=DF+CF=8，
∴CG=DG=4，
∴FG=CG﹣CF=2；
故②正確；
③∵AF=3，F(xiàn)G=2，
∴AG==，
∴在Rt△AGD中，tan∠ADG==，
∴tan∠E=；
故③錯(cuò)誤；
④∵DF=DG+FG=6，AD==，
∴S_△ADF=DF•AG=×6×=，
∵△ADF∽△AED，
∴，
∴=，
∴S_△AED=，
∴S_△DEF=S_△AED﹣S_△ADF=；
故④正確．
故答案為：①②④．