Question

【題目】如圖，已知直線y＝x+2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B，C，拋物線y＝x2+bx+c過點(diǎn)B、C，且與x軸交于另一個(gè)點(diǎn)A．

（1）求該拋物線的表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)P是x軸上方拋物線上一點(diǎn)，連接OP．

①若OP與線段BC交于點(diǎn)D，則當(dāng)D為OP中點(diǎn)時(shí)，求出點(diǎn)P坐標(biāo)．

②在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得∠POC＝∠ACO若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）①點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，3）；②存在點(diǎn)P（，﹣1）或（，﹣7）使得∠POC＝∠ACO

【解析】

（1）與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B（4，0）、C（0，2），由題意可得即可求解；

（2）①過點(diǎn)P作PE∥OC，交BC于點(diǎn)E．根據(jù)題意得出△OCD≌△PED，從而得出PE＝OC＝2，再根據(jù) 即可求解；

②當(dāng)點(diǎn)P在y軸右側(cè)，PO∥AC時(shí)，∠POC=∠ACO．拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，則點(diǎn)A坐標(biāo)為（-1，0）．則直線AC的解析式為y=2x+2．直線OP的解析式為y=2x，即可求解；當(dāng)點(diǎn)P在y軸右側(cè)，設(shè)OP與直線AC交于點(diǎn)G，當(dāng)CG=OG時(shí)，∠POC=∠ACO，根據(jù)等腰三角形三線合一，則CF=OF=1，可得：點(diǎn)G坐標(biāo)為即可求解．

（1）∵y＝﹣x+2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B（4，0）、C（0，2）．

由題意可得，解得：，

∴拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+x+2；

（2）①如圖，過點(diǎn)P作PE∥OC，交BC于點(diǎn)E．

∵點(diǎn)D為OP的中點(diǎn)，

∴△OCD≌△PED（AAS），

∴PE＝OC＝2，

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，﹣m2+m+2），點(diǎn)E坐標(biāo)為（m，﹣m+2），

則PE＝（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m＝2，

解得m1＝m2＝2．

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，3）；

②存在點(diǎn)P，使得∠POC＝∠ACO．

理由：分兩種情況討論．

如上圖，當(dāng)點(diǎn)P在y軸右側(cè)，

PO∥AC時(shí)，∠POC＝∠ACO．

∵拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，

∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣1，0）．

∴直線AC的解析式為y＝2x+2．

∴直線OP的解析式為y＝2x，

解方程組，解得：x＝（舍去負(fù)值）

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（，﹣1）．

如圖，當(dāng)點(diǎn)P在y軸右側(cè)，

設(shè)OP與直線AC交于點(diǎn)G，當(dāng)CG＝OG時(shí)∠POC＝∠ACO，

過點(diǎn)G作GF⊥OC，垂足為F．

根據(jù)等腰三角形三線合一，則CF＝OF＝1．

∴可得點(diǎn)G坐標(biāo)為（﹣，1）

∴直線OG的解析式為y＝﹣2x；

把y＝﹣2x代入拋物線表達(dá)式并解得x＝（不合題意值已舍去）．

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（，﹣7）．

綜上所述，存在點(diǎn)P（，﹣1）或（，﹣7）使得∠POC＝∠ACO．